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Si co est une solution de celte équation, il en est de même de 



<)',! d'il 



quelle que soit la constante £. C'est là une propriété qui est d'ailleurs à peu 

 près évidente, du fait que a et i ne dépendent que de p, — p,. Mais, en 

 voici qui le sont moins. Soit w, une solution quelconque de (5). Considé- 

 rons l'équation 



(^) ^-^^ +''" = "'■ 



Quelle que soit la constante £, il existe une infinité de solutions com- 

 munes à (5) et à (G). Ces solutions sont données par la formule 



— - 1 pi + pj ) 

 (7) cj = w„+e ■■' ^^(r)- 



(o„ désignant uiTe solution particulière quelconque de (6) et g (c) l'intégrale 

 générale de l'équation différentielle 



2\ ■.1/" \Oo^dp-2 'Jpi àù., ,1 



de sorte qu'à des quadratures près, on est ramené à intégrer l'équation 

 différentielle suivante : 



(9) g"+{b-a)g'~vUa + l>- 



Si l'on sait intégrer cette équation différentielle, on voit qu'on pourra 

 déduire d'une solution particulière o), de (5) une infinité de solutions nou- 

 velles dépendant d'un nombre illimité de constantes arbitraires. En parti- 

 culier, on pourra toujours partir de la solution évidente co, ^ const. 



Dans le cas de l'équation (2) nous avons obtenu la solution générale 

 (le (9) pour £ = I, et cela par des considérations géométriques. Nous en 

 avons déduit la transformation de l'équation, pour £ quelconque, en la sui- 

 vante : 



ll'J • (1(3 



où Ton a posé 



l z= C0l2<I>, CT ~ I — £. 



On voit (pie Ton jxuit intégrer par quadratures pour a = zt 1 . I/iiilé- 



