SÉANCE DU 2 MAI 191O. IO99 



gration de Pf-quation (9) équivaut à la recherche de ceux des systèmes (S) 

 qui se composent de surfaces liomothétiques. 



On pourrait appliquer les considérations qui précèdent à l'équation bien 

 connue d'Euler et de Poisson, qui est de la forme (5). 



L'équation (2) a un invariant nul lorsque le réseau (a) se compose 

 uniquement de cercles. On peut avoir tous les systèmes triples correspon- 

 dants sans aucune quadrature. Si les cercles de chaque famille sont tangents 

 entre eux, les deux invariants sont nuls et l'on retombe sur des systèmes 

 déterminés autrefois par M. Darboux dans sa Thèse de Doctorat. 



L'équation (2) a ses invariants égaux dans les deux cas signalés dans 

 notre Note déjà citée, où les plans des cercles de (ct) enveloppent un cylindre 

 do révolution ou à base hypocycloïdale. Dans le premier cas, on est ramené 

 à l'équation 



t'pi àp-2 

 et dans le second cas à l'équation d'Kuler 



d-'j) ni',) 



àpi dû, (pi — Oo)" 



(//( = const.). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration, par ta méthode de 

 M. Darboux, des équations aux dérivées partielles du second ordre 

 de la forme s = a(x,y, z)p + b(x, y, z V/ -hc(x,Y, =)• Note de 

 M. P.-E. Gau. 



Je me suis proposé de chercher toutes les équations de la forme 



,s — rt ( .r, y. z)p -h b( .r. y. z) q -h c ( ,r . v, s ) 



qui admettent une intégrale générale de la première classe. 



Le problème a été traité par Sophus Lie ( ' ) pour les équations s = f( z 

 et par M. J. Clairin ( - ) pour les équations s =/(a-, y, ;). 



11 faut exprimer rpie l'équation considérée admet deux intégrales inler- 



(') Voir GouRSAT, Leçons sur l'intégration des équations au.r déri^-ées partielles 

 (In se.cond ordre, t. II, p. 182. 



(-) Hiilletin des Sciences mal hé ma tiques, 2' série, l. \XI\, igoS, |). 177. 



