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niédiaires de la forme 



<p{x. y, z, p^. />, yj„) =\{x). p,^—-—, 



La fonction cp doit donc satisfaire aux deux équations linéaires : 



do _ 

 dqi " ' 



où l'on a posé 



/ — op -+■ ùq -hc 



et où l'on a désigné par le symbole [--r^,)> la dérivée A'^"" de /(.r,j, z,p, q) 



par rapport à x, après qu'on n'a laissé dans son expression que les déri- 

 vées/;,, yj,, ...,/j„+,, y, ('). 



Le calcul est malheureusement long. Il consiste à réduire l'ordre des 

 équations et à les ramener à quelques types canoniques qui se discutent 

 facilement; cette réduction repose sur la remarque suivante : 



Etant donnée une équation de la forme s =y(a;, y, z, p, q), on a 



{tjJ'') "^ ^'"*' 1)^ 4-/>„m;; + />„__,m;;- ' + . . . + /j,,m;; + k«(.r. y, z, r/,. p p,^^,), 



les coefficients M étant indépendants de />„+,, .. ., p^ et Tordre maximum 

 des dérivées contenues dans Mf; étant n — /i -h ■2. En posant, suivant le cas, 

 n = 211' ou n = in' -k- i, on aura donc k^n'-{- 2. On peut d'ailleurs avoir 

 facilement l'expression des quantités M par voie de récurrence. . 

 Ces calculs m'ont conduit au résultat suivant : 



En siipposanl — ^ o, —^o, les seules eqtid/ions de la forme considérée 



qui sont de la première classe peuvent, par un simple changement de variables, 

 se ramener, soit : 



i" .1 une équation linéaire inlégrable par la méthode de Laplace ; 



2° A l'équation de Liouville s = e~ ; 



{') \oir GoiKS.iT, liechcrchcs sur ciiielqucs équalinns ai/.r dérivées juirlieltes rfii 

 second ordre {Annales de la Faculté de Toulouse, 1899, p. 459)- 



