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fonctionnelle 



(2) . y — y"=k(y'), 



A désignant la Iransmutation linéaire définie par l'égalité 



En outre, toute autre solution z de l'équation (2) analytique et régulière 

 à l'origine aura un développement de la forme 



2 ! n\ 



Co, c,, ... satisfaisant aux équations (i) et -° étant différent de — • 



Si, d'autre part, on considère les fonctions auxquelles z et x sont associées 



f. 

 I 



e-' y{tjc) dl zzz ii„-\- UiJc -Y- . . .-^- tt„x" -i-. . ., 

 e^' z{tx) dl ^ f„-+- i\x + . . .-¥- i'„ œ" -+-..., 



la première sera finie au point d'affixe — r et la seconde infinie aux 

 points ± I. L'équation (2) a donc une solution entière J{x), et une seule 

 (à une constante près), telle que l'intégrale 



/ e-'/i-t)dt 



ait une valeur finie, et la valeur de la fraction continue est •{., , • 



/ (o) 



Ce critérium se simplifie dans le cas où la limile inférieure de - — — est 



supérieure à o. Dans ce cas, la fonction:; n'est plus entière et la fonctiony(a;) 

 est la seule solution entière de l'équation (i). 



II. Comme cas particulier, on peut citer le cas où a„ est un polynôme 

 entier en n qu'on peut toujours mettre sous la forme 



a,^:^ p + (jn -t- /■/( ( /( — I ) + . . . , 



l'équation (2) n'a qu'une seule solution entière et devient l'équation diffé- 

 rentielle 



j — y"— py' + y ■^■j" + />?•= j '" + . . . . 



I-iOrsque a„ se réduit à un binôme du premier degré, on retrouve le déve- 



