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incomplets fraclionnaires de même dénominateur et tous supérieurs à i. 

 L'équation (2) prendrait dans ce cas la forme 



i"^(j— /')==-'^(y)' 

 K étant un entier. On trouverait, par exemple, ainsi les développements 

 de tlij: ou de la dérivée Jogarilliniique de la fonction de Bessel pour un 

 argument entier. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équalions différentielles déduiles de 

 certains invariants des formes linéaires. Note de M. Jea.\ Chazy, pré- 

 sentée par M. Appell. 



Dans les Comptes rendus du 8 février 1904, M. Borel a groupé un certain 

 nombre d'équations différentielles dont l'intégrale générale est une fonction 

 entière, et a remarqué qu'en séparant dans ces équations les termes de poids 

 le plus élevé par rapport aux indices de dérivation, on obtient des invariants 

 usuels de formes binaires telles que 



(i) u'-">-\- nlii'-"^^^-h " ' ~^' }:'u"'^'—. . .-1- ril"-^u' +l"ii. 



^ ' . 1.2 



Je voudrais ajouter quelques remarques à celles de M. Borel. 



Désignons d'une façon générale par I„ l'équation difï'érentielle obtenue en 

 annulant un invariant quelconque de la forme (i). L'équation 1„, homogène 

 par rapport à la fonction et à ses dérivées, ne change ( ' ) pas si l'on change u 



1 -1 > 17 ' • r • "" — """ 



en eu, quel que soit le paramètre a : 1 équation transtormee eu -^ 



est donc d'ordre n — 2. On peut abaisser encore de deux unités l'ordre de 

 celte transformée, en changeant de fonction et devariai)le, parce que l'équa- 

 tion I„ admet le groupe de transformations à deux paramètres (iP, ^x -+- y). 

 En définitive l'inlégration de l'équation I„ se ramène à l'intégration d'une 

 équation d'ordre n — 4, suivie de quatre quadratures. D'autre part, l'équa- 

 tion I„ est vérifiée, si l'on annule dans la forme (i) les premiers termes 



pour n iMq)air, et les ^ — t- i premiers termes pour n pair. L'équation I„ admet 



(') Cf. C. Stkphanos, Communication faite au Congrès de Rome (Atti, t. II, 

 p. i48). 



