SÉANCE DU 2 MAI 19IO. IIo5 

 donc l'intégrale (');/ = P*(^), etpar suite l'intégrale « = e*"'^P/,.(.:i7), A' dési- 

 gnant l'entier ou- — i. Cette dernière intégrale est l'intégrale générale 



pour n = 2 ou n ^ 3. 



L'intégrale générale de l'équation D„ obtenue en annulant le discrimi- 

 nant de la forme (i) est u = e'^'"P„_2(a;), l'intégrale singulière é''"V^_^{x), 

 l'intégrale singulière de l'intégrale singulière e*^^'P„_,(a;), et ainsi de suite. 



De même les équations difl'érentielles de la suite 



ont leur intégrale générale entière. Chaque déterminant est en efîet un 

 déterminant de Wronski, et l'équation obtenue en l'annulant équivaut à une 

 relation linéaire et homogène à coefficients constants et arbitraires entre les 

 éléments de la dernière ligne. L'intégrale générale, s'exprime encore par la 

 fonction exponentielle. 



11 y a des classes d'invariants, au contraire, d'où l'on déduit une suite 

 d'équations différentielles dont les premiers termes seuls sont des équations 

 dont l'intégrale générale est entière. Ainsi les deux équations iiu" — «'- = 0, 

 S = uu" — [\u' u!" -H 3m"- = o, ont pour intégrales générales // ^ e"^ '"^", 

 u = e*''"^''a(a; -+- C, o, D). L'équation E„ (pour n pair), 



n(n 



n (n 



m-y 



["'îT 



admet les intégrales particulières z/ = .r + c, (.r-i-C)-, (j:'+C)''...(a'+C)'' 

 Pour que l'équation E„ ait son intégrale générale entière, ou même uni- 

 forme, il est nécessaire (-) que les équations aux rariations (ou é([uations 

 auxiliaires de M. Darboux) relatives à ces intégrales particulières, aient 

 elles-mêmes leur intégrale générale uniforme. Or l'équation aux variations 

 relative à l'intégrale u = (x -+- C)', 



{.2--HC)'-('(")— 2 «(i- + C) (•'"-" -H «(«—!) '"'""" =0, 



C) P/;(x') désigne un polynôme en ,r de degré/' à coefficients constants; A, 15, C ... 

 désignent des constantes d'intégration. 



(-) C'est là une application particulière de la méthode que M. Painlevé a employée 

 systémaliquemenl à l'étude des équations du second ordre. 



