SÉANCE DU 2 MAI I910. II07 



Réciproquement, soit a une racine de l'équation (2). En partant de 

 valeurs initiales «„, m,, . . . , m^_, prises dans le domaine de a, dans quel cas 

 sera-t-on assuré de la convergence vers a de la suite des m„ ? La question est 

 résolue depuis longtemps dans le cas de /j = i : c'est la théorie de l'itéra- 

 tion des fonctions d'une variable ('). Voici les résultats qu'on peut établir 

 de même pour des relations d'ordre quelconque C^). Posons 



^^ ^ / df 



(j = i, s. 3, 



P)- 



et soient S,, S^, 

 (3) 



Sp les racines de l'équation 



Sp — «, S''-' — «2 S''-'' — . . . — rt/, 



Supposons, en nous plaçant dans le cas le plus général, les racines dis- 

 tinctes, dilTérentes de zéro el de modules inférieurs à i : la suite u„ converge 

 alors vers a, quelles que soient les valeurs initiales Ug, //, , . . . , u^ prises dans le 

 domaine de a, 



La question peut se traiter directement, mais on peut aussi la ramener à Tétucle de 

 l'itération d'un système de p fonctions de yo variables; posons en efl'et 



(/,) X, = ^-„ 



X, 



Xp-i : 



'>^P=/i^fp 



X,). 



Si l'on donne à x,, ^2, ..., a-^ les valeurs ito, u^, ..., m^, on obtiendra pour X,, 

 X2, . . . , X^ les valeurs «/,, 11^, ..., Up+i. L'étude du système {^) et celle de l'équa- 

 tion (i) sont donc deux questions équivalentes : l'analogie est évidente avec les 

 équations différentielles d'ordre p qu'on ramène, d'une façon toute pareille, à un 

 système de p équations du premier ordre. 



Etant ainsi ramené à l'étude de l'itération du système (4), il n'y a qu'i'i appliquer au 

 problème actuel la théorie de l'itération à plusieurs variables. L'équation en S, qui 

 joue un rôle fondamental dans celte théorie, est ici 



— S 



-S 



et, en développant, on retrouve l'équation (3). 



(') Pour la bibliographie, voir mon travail Sur les ét/uations fonctionnelles 

 {Annali di Matematica, 1906; Thèse-, Paris, 1906). 



(-) On peut étudier, d'une façon analogue, le cas d'une convergence périodique de 

 la suite (/,,, «,, .... ;/„. 



