IIo8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



' Si les S ont des modules tous supérieurs à i^ on résoudra l'équation (i) par 



rapport à ;/„ ce qui est possible, puisque ( -p- j ou a^, n'est pas nul : en 



partant des valeurs initiales Up, Up_f, . . ., u^^ on pourra alors former la suite 

 à indices décroissants m^,, ;/ ,, . . . , m^„ et li'^ tendra vers a. 



Si les S ont les uns des modules inférieurs à i, les autres des modules 

 supérieurs à i, à partir d'une certaine valeur de Ji, les h„ et les z/_„ sortent 

 du domaine de a, si les valeurs initiales sont quelconques, et il n'y aurait lieu 

 de poursuivre le problème, alors fort difficile, que si la relation de récur- 

 rence était définie quelles que soient les valeurs des variables, par exemple 

 si c'était un polynôme ou une fraction rationnelle. Mais si les valeurs 

 initiales sont choisies de façon à vérifier certaines relations analytiques 

 ^P(Mi,, u^, '. . ., Up) = o (satisfaites pour ?;„ = ?/,=;... = w^, = a et définies 

 dans le domaine de ce point), il y aura encore convergence de la suite u„ 

 ou de la suite «_„ vers a. Ceci se rattache à la question de la réductihililé des 

 relations (i), autrement dit à la question des relations de récurrence d'ordre 

 inférieur à p contenues dans une relation d' ordre p. 



Soit, pour fixer les idées, une relation d'ordre 3, 



(5) lln+i = .f{"n+l, "„ + ,, '<„)■ 



On dira qu'elle contient la relation d'ordre 2, 



(6) ",,+2= ?("«+.. "„), 



si les valeurs /<„, ?/,, u.,, u,,, . . . qu'on tire de (G) en partant des valeurs 

 initiales «/„, //, vérifient la relation (5), et cela quels que soient u„, //,. 

 Etant donnée la relation (5), où y est une fonction holomorphe des trois 

 variables dans le domaine du point limité a, on peut se proposer de cher- 

 cher une relation d'ordre a (et de même une relation d'ordre i), con- 

 tenue dans (5), vérifiée pour le point limite et telle que ^(«„^.,, «„) soit 

 une fonction holomorphe de //„, ^/„^^, dans le domaine de a. La question 

 se ramène à la recherche des courbes et surfaces analytiques invariantes 

 par la transformation ponctuelle 



A loule racine s, telle que |*1< i, correspond en général (-), une relation 



(') \i)ir mon travail cité ci-dessous. 



C) Il peut y avoir exception si l'une an moins des deu\ autres racines S', S" est 

 une puissance entière de S. 



