I2IO ACADEMIE DES SCIENCES. 



les formules 



(10) a-f"'-^^>—lX',\V;-'-'\ _r<2'.+')— 2Y;.H;.'"-', z(^''-+'>—1Z',U)-'"; 



(11) ,r'") — i\,H;-^''-' , j-c-*' =:sv,n;-''- ". ^i"' =iz,u';-''-'>; 



oiix^''\ y'", i''^' désignent les coordonnéesdu point qui décrit le système (S/,). 

 Si, au lieu de descendre la suite (9), on veut la remonter, on aura 



(12) 1 y(^>--^>z= f{x(-''> f/00, + /('*) 6^0,,+ -'"' ^0-ii)- 



f jC''-')— r(,r<2A) f/0„,-(-j(2/.) ,/©,, + ;(=<■) f/0,,); 



.r(-*-) =r A.r'î''- ^o ^/0„„ -H j(^''-') r/0,„ + ct=''-" «;©„,,), 

 (r3) ^ j"'*) = r(^l=''-"f/0,„ + j(^''-'>fl'0,i4- ;"'■"-" û'0, 2), 



qui devront être appliquées successivement. 



En général, si H*, P''- désignent les valeurs des H, et des P, pour le système 

 de rang X', on aura 



(i4) P'/-'=Hf-" 



et par suite 



(i5) p(.5/.-+n^Hi^*- =^^^ +(3/,./P^.'*' +i3/,IT*', 



,)p(2*-l) 



(16) pr- ^^ = H;.-^ ^- > > = ^-j— + (3,t l'i^ " ' ' + ;3,v Pi^ '- • ' . 



Telle est la première méthode de récurrence, qui fait dériver d'une solution 

 du problème une suite de solutions nouvelles. 



Cette suite, il est vrai, n'est pas toujours illimilée. Si, par exemple, on 

 prend pour le système (S) celui tpie nous avons déterminé précédemment 

 et qui correspond aux valeurs 



H, = rtX; + ^Y;4-cz;-, 



le système (S,) se réduit à un point, et tous les systèmes d'indice positif dis- 

 paraissent. Il ne reste que les systèmes d'indice négatif, obtenus par des 

 quadratures. 



