SÉANCE DU 17 MAI 19IO. 12II 



Au lieu de chercher si la suite (9) se termine, nous allons examiner 

 si elle peut être périodique. Le cas le plus simple, auquel d'ailleurs se 

 ramènent tous les autres, est celui où tous les systèmes de même indice 

 seraient identiques, ou du moins homothéliques. Les formules ( i '1) cl (i()) 

 nous donnent 



(17) P<;-'=^+(3«.H,+ (3,vH,. 



Si nous supposons que l'on ait 

 (iS) P;.^'=aP,-, 



a étant une constante, le système (S.) sera homothétique au système (S), et 

 la suite (9) deviendra périodique. On retrouve ainsi les systèmes triples 

 caractérisés par la relation 



(19) 11;-+ H;.4- H;= aiic" + _)■-+:■'-) + P 



et déjà étudiés dans notre première Communication. Pour le système (5,) 

 de la seconde série qui leur est adjoint, on a 



(20) P;*'=H„ 



et par conséquent la formule (19) nous donnera la relation suivante: 



(21) j:l-hyl-i-zl=<x{x"--hy-'+ :'■) -h^ 



entre les coordonnées des points qui se correspondent dans les deux sys- 

 tèmes. 



Le cas particulier où la constante ^ est nulle dans la relation (19) va nous 

 fournir la seconde des méthodes de récurrence que nous voulions signaler. 

 On a alors 



(22) H?-t-[l|.-+-H?=:a(.r2H-^r-+5^). 



Soumettons l'un des deux systèmes, (S) par exemple, à une inversion 

 dont le pôle sera l'origine des coordonnées. Il faudra alors remplacer par- 

 tout 



II,, 11,,, II,, .r°- + j=+c2 



par 



H, H/, H, I 



-y^+z- j;- + y--^-z- a' -h y^ 



Remarquons que cette suhstitution ne change pas la forme de la rela- 

 tion (22); elle transforme donc le système (S) en un système de même 



