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Une telle fonction a(a;) existe et est unique. De plus, ce choix a l'avan- 

 tage suivant : a(ic) dépend alors de Uf de façon distributive et continue. 

 II. On obtient aussi une représentation unique de son espèce sous la forme 



U/ ^f A ^ ) ('" (-'■ ) + ^ «'/( ■^.- ). 



où u(x) est une/onction continue à variation bornée et nulle pour x =^i et où 

 les ai et les x, sont des constantes indépendantes de la/onction f(x). On a 



o _ Xj I ; 



et, ou bien les a, (supposés tous différents de zéro) sont en nombre iini, ou 

 bien la série Srt, est absolument convergente quand on suppose les Xj tous 

 distincts. 



Celte représentation a l'avantage de mettre en évidence une sorte de 

 points singuliers fixes de la fonctionnelle U^, et de résidus correspondants «,. 

 Pour les déterminer, connaissant U^, on peut procéder ainsi. Soit gfj,(x) 

 une fonction égale à zéro pour £r = o, E — /î, ^ H- A, i, égale à i pour ar- = ^ 

 et linéaire entre ces points [go,h(^) étant égale à i pour x ^= o, nulle pour 

 X = h, I ; gt^^ étant égale à i pour x ^ j , nulle pour a? = o, i — A]. La 

 quantité \J gi/,(x) a une limite déterminée quand h tend vers zéro. Cette 

 limite est nulle partout, sauf en un ensemble dénombrable de points qui 

 sont les points j?,, où la limite est a,-. 



Quand Uy est donnée sous la forme (i), on peut procéder autrement : 

 les a, sont les sauts de la fonction a 



«^ 1= a ( j-,- -+- o ) — 3! ( J",- — o ) 

 [ff/z= «(+ o) — «(o) si .»",■= o, rt,=i 5((i) — o((i — o)si.r,= i]. 



Les Xj sont les points où ce saut n'est pas nul, c'est-à-dire les points où 

 a(a:) a une discontinuité non évitable. 



111. En se servant de la remarque,!, on peut étendre la formule de Riesz 

 à ce que j'ai appelé des fonctionnelles d'ordres entiers. 



Par exemple, une fonctionnelle d'ordre deux est une fonctionnelle con- 

 tinue telle qu'on ait identiquement 



L'^+î+'i; — U/+y— V^+.i, — U^+y. ■+- Vf -h U^ + U,j, — - Uo — o. 



Toute fonctionnelle homogène d'ordre deux peut être représentée par la 

 formule 



(2) ^f-=f f{^r)d,J f{y)d,u{x.y 



