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la somme des (« + i) premiers termes de la série de Fourier de f{x), et 

 par S„(.x) la moyenne arithmétique 



„ .s-„(.r) + .ti(.;.- )-T-. ..+ .<„(.r) 



(2) S„(.r) = ^^^-^ 



On connaît ( ' ) la propriété élémentaire 



(3) |S„(^)|<M, 



pour 



o £ a; £ 2 7r, 

 n ^ o, 1 , 2, 3. . . . , 00. 



Mais on sait aussi que pour les sommes de Fourier 5„ (a;) l'inégalité (3) 

 n'est pas vraie en général. Je cite pour cela les deux types d'exemples 

 suivants : 



7t — iT 



Premier exemple : /( J") ^= pour o < .r < 2 tt. Ici on a 



M=:-, „>=z—M=—-, 



1 1 



, , h\nx sin i.v iinnx 



S„ {x) — 1 1- . . . H 



1 2 n 



Mais pour x := '- — on obtient 



« -H 1 l - 



\ /i H- 1 



donc 



liin i„ ( • — '- — ) =: / ^ dx = 1,85.... 



„=« V" + i/ J, ■^ 



Cette valeur i ,85 . . . tiS. plus grande que M := — = i ,57 . . . [Phénomène de GibbsC)]. 



(') Voir Math. Aimalen, Bd. 58, p. 60. 



(^) Voir par exemple le paragraphe 9 du Mémoire de M. Bâcher dans les Aimais 

 of Malliematics, 2' série, t. ^'ll, 1906. 



