SÉANCE DU 23 MAI 1910. l3oi 



Seconr/ c.remp/e : 



CCISX C0S2.!' coinx cos(«+i).)' C0S3/(.r 



■' ^' ~ Il n — \ ' ' ' I T ' " ' /' 



Pour .r r= o on obtient 



s„(o) — — I h. . .+ I > logrt. 



n n — 1 



Donc (en choisissant n assez grand) la somme s„{o) pourra être aussi grande que 

 l'on veut, tandis que la valeur absolue de la fonction /(.r) reste plus petite que 



26 pour o _ ./■ i 2 7: et /i = 1 , 2, . . . co ( '). 



Dans les lignes suivantes, je donne un théorèine qui permet dans beau- 

 coup de cas de déterminer, pour les s,t{x') de Fourier, des limites assez 

 étroites. ^ oici ce théorème : 



Soit f(\-v) une fonction^ intégrable dans l'intervalle n<x^-n:, pour laquelle 



(I) !/(.?■) |_M pour o_.r_2 7r. 



et 



A B 



(II) Irt,, I-:— ) \l>ii\-— pour /i :r= I, 2, 3, . . . , co. 



Ici a^, b,, ..., a„, h„, ... désignent les coefficients de Fourier de /(-x'), 

 e^ M , A, B so/it des constantes positives (ou zéro). Alors, en désignant 

 par s„(x) la somme des premiers (n -+- i) termes de la série de Fo irier 

 de /(x), on a 



\s„(.r)\^M-h\-\-\i 

 ])0ur 



olj"^27r, «^r0,I,2, ...,::c. 



Démonstration. — On a, d'après les définitions ( i ) et (2), 



2^'-'{u; cosv.r -\- l).j siiiv.r) 



(4) .9„(x)=.S„(.r)+^ 



n + I 

 Donc, en tenant coniplr de la condition ( II\ 



/( ( A + B : 



■««(*)|î|S„(j»)| + 



(' ) Lebesgue'sche Konstanten und divergente Foarierreihen {Journal de Crclla. 

 t. 138, 1910). Par l'application de l'inégalité (6) de cette Note, on obtient 



|/(.r) I < Ti: + 2 =5,1.', 



