l4l2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



cpie réijiia lion />,„-+-']> = o forme avec la proposée un systèuie en invo- 

 liition. 



On peut faire une remarque analogue pour le terme B; posons B = Acf* : 

 on peut alors niellre l'équation qui détermine ^ sous la forme (3), A dispa- 

 raissant. Donc p^-\- o r= o forme également un système en involulion avec 

 Téqualion proposée. 



On déduit de là plusieurs conséquences intéressantes : 



i" Toute intégrale intermédiaire, dont le terme A dépend des dérivées 



d'ordre supérieur à i, peut se mettre sous la forme — v ==X(.i), les 



équations p„-\- '^ = o et/7„, + '\i = o formant chacune avec La préposée uma 

 système en involution. 



Réciproquement : si l'équation * =^ f(x, y, :, p, q) forme avec deux équa- 

 tions distinctes, du même type ( i) par exemple, un système en involulion, elle 

 admet une intégrale intermédiaire et, par conséquent, peut s'intégrer par la 

 méthode de M. Darhoux. 



Cette intégraleintermédiaire se construit d'ailleurs sans difficulté, qiaand 

 on connaît les deux équations en involution. 



1° Soit { S) ua« surface intégrale de l'équation 



(|ui n'est intégrale d'aucune des é([iiations/>„+ ç = o, Pm + '\i = «. Lorsqu'on 

 se déplace sur une caractéristique x = const., les quantités y, :-,.p, . ■ . , p„ 

 sont des fonctions de la seule variable y. Si l'on fait la substitution, on a 

 donc, sur celte caractéristique, 



Or d'après la remarque précédente, l'expression — est un invariant 



pour ce système de caractéristiques; donc 



M(_y) ^ /,N(j'), /. élaiit une constante. 



Les deux (juanlitésy^, h- o el/>„, -f- j^, qui sont les premiers membres des 

 équations en involution avec la proposée, sont àe?, covarianis pouir les caraic- 

 téristiques x =^ const. La réciproque est évidente. 



Toutes ces remarques subsistent dans le cas où A ne dépend que des 

 dérivées d^ordre inférieur à 2, avec de très légères modifications qu'on 

 aperçoit facilement en écrivant les équations qui déterminant A et B dans 

 ce cas j)articulier. 



