SÉANCE DU 3o MAI 1910. l4l3 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Suj- les séries de Tavlor à cneffîcienls récnrrenls. 

 Note de M. S. Lattks, présentée par M. Emile Picard. 



Dans UTi MémoiTe récent ( M, M. Fa ton a étudié les séries de Taylor 



( I ) «„ -I- "1 ::-!- «^ ;'- ^ ...-)-(/„::'' -4- ... , 



dans lesquelles //„+, est lié à //„ par une relation de récurrence analytique, 

 /<„^i = /'('(/„), et il a établi la proposition suivante : 



S? la valeur initiale u„ est choisie dans le domaine d'un point limite 



régulier a et si le nombre S =/"'(a) a un module inférieur à 1, la série (i) 



représe/i/e une fonction méromorphe de z admettant pour pôles simples les 



T 1 1 ... 



points I , i^' ^1 ' ■ • • ' ^' • ■ ■ ^ ou certains de ces points. 



Je voudrais indiquer ici comment on peut étendre la proposition de 

 M. Fatou au cas où un coefficient quelconque ;/„ de (1) est lié aux p précé- 

 dents par une relation de récurrence analytique, à coefficients indépen- 

 dants de //, et comment on peut transformer alors la série de Taylor en 

 une série de fractions rationnelles. J'utiliserai dans ce but les résaltats que 

 j'ai énoncés récemment au sujet des relationsde récurrence (-). Supposons, 

 pour simplifier l'écriture, yj = 3 et soit la relation 



(■2) w„+..,=/{«„. </„^„, «„+.,), 



admettant le point limite a; soient S,, S», S3 les racines de l'équation en S 

 relatives à ce point ('). jN'ous supposerons que |S,|, IS^I, |S.,| sont infé- 

 rieurs à I, différents de zéro, et qu'il n'e.visle aucune relation de la forme 



à exposants a, [îl entiers, positifs ou nuls. On peut alors énoncer les résultats 

 suivants, dont je réserve la démonstration pour un travail plus étendu. 



Les valeurs initiales u„, u., , u.^ étant prises dans le domaine du point limite a, 

 la série (i) représente une fonction méromorjj/ie de z, admettant /lour pôles 



r' ) ¥Kvm!,S:tir une classe reniarquaùte de séries de Taylor {Annales de iKcolf 

 Normale, 1910). 



(-) Sur la convergence des relations de récurrence [Comptes rendus, 2 mai lyio). 

 (') Noir la Note précédente. 



