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simples les points 



^ = S"S^S'- {p,'],r eoùerslo), 



ou certains de ces points. 



La série (i) peut se transformer en une série absolument convergente de 

 fractions rationnelles, de la/orme 



dans laquelle les a sont des constantes numériques, indépendantes des râleurs 

 initiales u^, ",, u.^; /„, ('„, (r^ sont trois fonctions de u„, //,, u^ liolumorphes 

 dans le domaine du point limite u„ = «, = u., = a. 



Pour des relations de récurrence particulières, certaines des con- 

 stantes y-i,,,,. peuvent être nulles; les pôles correspondants disparaissent 

 alors ('). De plus, quelle que soit la relation de récurrence, une infinité de 

 pôles disparaissent si les valeurs initiales u^, u,, u., annulent une ou deux 

 des fonctions /„, (•„. »'n : ces dernières fonctions égalées à zéro donnent les 

 conditions pour que les u„ soient liés par une relation de récurrence ana- 

 lytique d'ordre i ou 2, contenue dans la relation donnée (-), de sorte que 

 une ou deux des quantités S,, S., S., interviennent seules. 



Réciproquement, soit donnée, a priori, une série de fractions rationnelles 

 de la forme (3), les constantes a^,^,. étant telles que la série ila^,^,.^''^''"''^ soit 

 convergente lorsque /, v, w sont pris dans des cercles de rayons R, R', R" 

 et soient /„, („, »„ des points pris à l'intérieur de ces cercles de convergence. 

 La série (3) est évidemment une fonction méromorphe de z; si on la déve- 

 loppe en série de Tavlor, on obtient une série (i) dont les coefficients u„ sont 

 liés par une relation de récurrence d'ordre 3, almettant pour point limite le 

 point a„ 0- 



On détermine celte relation de la façon suivante. Posons 



w„+,= 9(S'| t, S'5 ('. S',tv) (' — o, I. 2, 3), 



(') C'est ce qui arrive dans le cas bien connu d'une relation de récurrence linéaire; 

 on sait que la série (1) a alors pour somme une fraction rationnelle de dénominateur 



(.-S,3)(..-S,;)(i^S;.-). 

 (-) Voir ma Note pi'écédenle. 



