I?îl6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



êlëments de fibres de longueur infiniment petite, nous ne considérerons que 

 la torsion moyenne et nous rappellerons simplement la torsion r\c l'élément. 

 Imaginons maintenant, dans un milieu soumis à une déformation inlini- 

 tésimale, un élément rectiligne infiniment petit MM', de longueur </*, ayant 

 pour cosinus directeurs a, [3, y- Désignons par 



•^ , {P\^ Pi, Pi ) el \\ -t- r/R , ( /^i + (lp^ , p, + dp^, p., + dp, ) 



les rotations moyennes aux points M et M' 



a 

 ~ds 



La dérivée géométrique d« la rotation-^ =R' a pour composantes sui- 



vant les axes de coordonnées ; 



La rotation dérivée peut se décomposer en deux autres : Tune, dirigée 

 suivant l'élément MM', donne la torsion de cet élément; l'autre, qui lui est 

 perpendiculaire, correspond à une flexion. 



2. L'expression de la torsion t de l'élément MM' résulte immédiatement 

 des considérations précédentes; on a 



(•} 



La torsion d'un élément de fibre au voisinage d'un point est donc repré- 

 sentée par une fonction du second degré des cosinus directeurs de l'élément. 

 La formule (i) est semblable à celle de la dilatation; elle s'en déduit en 

 remplaçant les composantes du déplacement par celles de la rotation. Les 

 deux résultats se rattachent d'ailleurs à une même propriété générale de la 

 théorie des vecteurs. 



Comme dans toutes les questions semblables, on est conduit à représeuter 

 la distribution des torsions autour du point M par une surface du second 

 degré, ou mieux par deux surfaces conjuguées dont Fensemlile constitue 



