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les 9 étant solutions de (i), les '^ de (2). Considérons alors la fonction 



les u. étant des constantes positives assujetties à la seule condition que la 

 série converge uniformément. Or, on aura 



J ^^ [J-i.tp 



et 



K(x;z)o,{z)dz^ ^ Mo. 



Donc on peut d'une infinité de manières trouver une fonction K(,r, v), 

 symétrique, dé f nie, telle que G (.r, y) soit symétrique et qu aucune solution 

 de (i ) ne soit orthogonale à K {■i\y). 



Ce résultat, rapproché de ceux de ma Note(') du 25 avril, montre que la 

 condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation intégrale n'ait que 

 des pôles réels et simples est l'existence d'une pareille fonction K(;r, y). 



La méthode de Schwarz [qu'on peut appliquer si l'on connaît directe- 

 ment une fonction K(;r, y)] donne une valeur singulière ; or, soit A, celte 

 valeur singulière; on peut lui faire correspondre un système biorthogonal 

 nor/né àe fonctions fondamentales et écrire 



H(,z:, r) = -^ V r^„(.r) .-.„(_y)+ R(.r, y), 

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le premier terme du second membre étant le noyau principal /i,(x,y) cor- 

 respondant à }^,. On aura, H„(;r, j) étant le «"'""' noyau itéré. 



(') Le procédé par loipiel j'avais cru pouvoif me passer de Tliypollièse K(.r,j) 

 déliiiie est inexact ; il faut sup[iiiniei' les Irois lignes oii il est question de G'(.r,j) et 

 les se|)t dernières lignes. J'inditiueiai ici un aulie exemple : 



\1{.T, y) = j A(x,z)li{z, y) rfz 



A(.*-,j) étant symclrii[ue; R(.r, v), comme dans les précéderas exemples, symétrique 

 el définie. On peut prendre 



K(j;j) = \\(.r,y). 



