SÉANCE DU 6 JUIN 1910. 1 5o5 



partir d'un nombre fini de Tableaux réduits et des Tableaux semi-réduits 

 et non réduits qu'on en déduit eu multipliant tous les termes de la première 

 colonne et en divisant les termes de la seconde par A", n prenant toutes les 

 valeurs entières positives ou nêj^atives et X étant une unité du corps qua- 

 dratique contenant j-, -p- La formation de la suite des réduites constitue, 



par conséquent, une méthode de calcul de ces unités. Dans le cas parti- 

 culier 



a I -t-- y/5 a I — \/l> 



h 2 h 1 



il n'y a pas de réduites intermédiaires, et tous les Tableaux é([uivalents sont 

 obtenus à partir d'un seul Tableau réduit principal. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les propriétés des lignes cantoriennes. 

 Note de M. L. Zoretti, présentée par M. Appell. 



Je me propose dans un prochain Mémoire de tirer de la définition canlo- 

 rienne de ligne une théorie aussi complète et aussi géométrique que possible.* 

 Je rattache celte définition aux postulats de la Géométrie et parviens ainsi à 

 des définitions et des propriétés précises relativement aux lignes fermées, 

 aux tangentes, etc. J'indique dès aujourd'hui quelques-uns des résultats que 

 j'ai ainsi obtenus. 



C'est la notion de ligne irréductible ( ') qui joue dans cette étude le rôle 

 le plus important. Il est donc bon de démontrer d'abord que, étant donnés 

 deux points a et 6 d'un ensemble continu quelconque, on peut trouver une 

 portion de l'ensemble qui soit entre a et 6 un continu irréductible (-). 



L'importance des ensembles continus irréductibles (plus généraux, 

 remarquons-le, que les lignes simples de M. Jordan) tient à ce qu'on peut 

 sur un tel ensemble définir un ordre de succession des points, parler de l'arc 

 qui joint deux points. C'est l'ensemble continu irréductible qui me parait 

 le plus conforme à la notion vulgaire de ligne. 



J'appelle ligne simple /e/7;(ee l'ensemble de deux continus irréductibles entre deux 

 points rt et 6 n'ayant que ces seuls points en commun; et je démontre qu'un tel en- 



( ' ) Voir mon Mémoire Sur la notion de ligne {Annales de l' Ecole Normale^ 1909). 

 (■-) S. Ja.mszewski, Comptes rendus, t. CL, p. 606. 



