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semble divise le plan en deux régions connexes dont il constitue la frontière. La réci- 

 proque a déjà été démontrée dans mon Mémoire cité plus haut. 



Voici maintenant ce que j'appelle tangente en un point ;?i d'un continu irréductible. 

 Soit/) un point de l'ensemble. Joignons m aux différents points de l'arc /«/*, et con- 

 sidérons l'ensemble des coefficients angulaires de toutes ces droites. Ajoutons ;i cet 

 ensemble son dérivé. L'ensemble obtenu a, quand p tend vers m sur l'arc pin, un en- 

 semble continu limite. Toute droite passant par m et dont le coefficient angulaire est 

 un nombre de cet ensemble, est dite tangente à l'ensemble. 



Les diflérents cas suivants sont possibles. En un point il y a soit une, 

 soit deux tangentes, soit un, soit deux angles dont toutes les di^oites sont 

 tangentes. 



J'ai démontré que ces deux derniers cas se présentent certainement 

 quand l'ensemble n'est pas ce que j'ai appelé un ensemble complètement 

 fermé. Donc, au contraire, si une ligne a en tous points deux tangentes au 

 plus, c'est un ensemble complètement fermé et par conséquent une ligne de 

 M. Jordan. 



II. Je termine cette Note en indiquant la possibilité d'étendre à l'espace 

 les définitions canloriennes, et de distinguer ainsi les lignes, les surfaces, 

 les volumes. J'y parviens en transformant la délinition de M. Cantor 

 d'après le tbéorème suivant : Pour qu'un continu plan soit linéaire., il faut et 

 il suffit qu'en tous ses points on puisse trouver une droite au moins qui n'ait pas 

 avec l'ensemble tout un serment commun. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la généralisation du théorème de S. Lie. 

 ?Sote(') de M. S.4i-tykow, présentée par M. P. Appell. 



Le théorème de S. Lie (^) s'étend de la manière suivante aux équations 

 partielles contenant explicitement la fonction inconnue : 



Soit le système normal de q équations partielles 



(i) .fiUi, -r-i. . .., .'■„, ;. /',./-)2, ..., p,,)— y., {/=i. 2, ..., 5f). 



(') Présentée dans la séance du jS mai 1910. 



(^) Ce théorème, intimement lié au problème de S. Lie, est formulé par S. Lie dans 

 les Mathematische Annalen, t. \I, p. 469- Vne démonstration élémentaire de ce 

 théoième résulte de mes recherches pnl)liées en 1908 et 1903 (Comptes rendus, 

 2.'i août 1903, et Communications de la Société mathéni. de Kliarkow, 1900). M. \V. 

 Stekloll'leur a apporté un complément en changeant aussi l'énoncé de S. Lie du théo- 

 rème considéré. Or tous ces résultats sont équivalents, au point de vue de la théorie 

 des équations partielles. En elVet. toutes les démonstrations du théorème dont il 



