SÉANCE DU 6 JUIN 1910. l5o7 



résolubles par rapport aux variables p^, p.,, . . ., p^, le système linéaire corres- 

 pondant 



(2) U'h/) = (j = l.o,...,r/). 



admettant n -h (* ) intégrales distinctes 



(3) /„ /„ ..., /„ A+„ ..., /„.p. 

 ^i l'expression 



d:=y p,(tx, 



s'agit revienneiU au calcul des paienllièses de I^oisson formées par les intégrales 

 donnéesetles nouvelles fonctions. M. W. SleklolV se borne, dans l'énoncé du théorème, 

 à rindicatioii seulement des valeurs de ces dernières parenthèses. Quant à S. Lie et 

 moi, nous formulons le résultat qui en déroule immédiatement, sans appliquer du 

 reste aucun nouveau calcul. Par conséquent, je ne suis pas d'accord avec M. C. 

 Russvan {Comptes rendus, 10 janvier 1910), attribuant à M. W. Slekloff le théorème 

 de S. Lie et m'objectant que leurs résultats n'étaient pas identiques. Encore faut-il 

 remarquer que M. C. Russyan avait cité non le théorème de S. Lie, mais son lemmeâ 

 {Matli. An/i., t. XI, p. 466-46-, Salz 2) pour réfuter mon affirmation. 



S. Lie considérait son théorème comme généralisation des résultats obtenus par 

 Jacobi [voir Mai/i. An., t. XI, §2, n"> 3, p. 470-471)- H ^'^ sans dire que les conditions 

 de S. Lie sont plus générales que celles du théorème classique de Jacobi. Or les inté- 

 grales résultant de ces deux théorèmes sont essentiellement distinctes, le théorème de 

 .lacobi définissant un sj'stème complet d'intégrales sous forme canonique. Cependant 

 les intégrales définies par le théorème de S. Lie, vérifiant les conditions sous forme plus 

 générale, sont dépourvues des propriétés canoniques. Or cela ne veut pas dire qu'il 

 n'e\iste point d'intégrales jouissant de pareilles propriétés. S. Lie avait bien noté cette 

 circonstance, en complétant son théorème par des considérations concernant l'existence 

 d'un groupe canonique engendré par les intégrales du théorème en question {Mal/i. 

 An., t. XI, p. 469, 470, Salz k, Satz 3). J'insiste donc que le nom de S. Lie convient 

 le mieux au théorème en question, d'autant plus qu'il existe un autre théorème présen- 

 tant une généralisation immédiate du théorème classique de Jacobi [voir mes iN'otes, 

 Comptes rendus, 28 et 3o janvier, 24 juillet 1899; Journal de Mathématiques, 1899, 

 p. 435 : Mémoire sur l'intégration des équations aux déri^'ées partielles du premier 

 ordre; et les Communications de la Soc. math, de Kharkow, 190J). En effet, les inté- 

 grales qui en résultent forment un système canonique, et le résultat de Jacobi ( Vor- 

 lesungen iiber Dynamik, 35. N'orlesung) s'ensuit comme cas particuliei-, quand le 

 nombre d'équations partielles devient égal à i. Aussi ai-je démontré que ce théorème 

 généralisé de Jacobi suffit, à lui seul, pour résoudre les problèmes fondamentaux de 

 la théorie moderne des équations partielles {Comptes rendus, 3o août et i3 septembre 



«909)- 



C) S. Lie désigne par la lettre /' le nombre « -t- o des intégrales connues. 



