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devient une équation aux différentielles totales, moyennant les équations 



(4) fk^y-k u, -\. 9.. ...<,, <! -^-i « + o). 



a^+, , «^+2, . . • , «n+p désignant /< + p — q constantes arbitraires, l'intégration 

 des équations (i) et (2) s'achève par l'intégration de cette équation aux diffé- 

 rentielles totales et par des opérations de différentiation et d'élimination. 

 Soit l'intégrale de celte dernière équation 



(5) /„+p+i=ra„+p+,, 



^n+ç+\ étant une constante arbitraire. Supposons que les équations (4) 

 donnent 



Cela posé, la démonstration de notre théorème résulte évidemment des 

 mêmes considérations dont je me suis servi pour résoudre le problème de 

 S. Lie (^Comptes rendus, i3 septembre 1909), car le théorème généralisé de 

 Jacobi s'étend aux équations de la forme (i) (voir Recherches sur la 

 théorie..., p. 175-177). 



Or le but de cette Note est d'établir de nouvelles formules présentant la 

 généralisation de celles que j'ai données en 1903 (^Comptes rendus, i'5 août). 



l'osons donc 



la dérivée -j-^ — étant distincte de zéro; pour qu'il en soit ainsi, il suffit, par 



exemple, d'introduire, au lieu des constantes arbitraires ay^.,, ol^^-,, . ■ . , x„^p^|, 

 les valeurs initiales des variables ;, a-„_,^^.i, x„_.^.j, ■ • ■ ,-i'n, Pg-,, l>q+ii •••>/-'«• 

 Cela étant, les rapports 



(6) (-^^^j (/.=., 2,. ..,« + p-,/) 



Oy.,, .0- 



représentent n -h p — q intégrales du système ( 2 ). les parenthèses désignant le 

 résultat d'élimination des constantes a, moyennant les équations (li) : parmi 

 ces dernières intégrales il e.viste n — q — intégrales formant avec les fonc- 

 tions (3) cf /„+p^| un système complet de -m — </ -+- i intégrales distinctes du 

 système (2). 



