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fonctions X restant alors dans (I, i) sont nuls. Les relations obtenues sont 

 linéaires par rapport à A,, B,, C,, D,, c'est-à-dire sont, par rapport aux Y' 

 ou aux Z qui y figurent, de la même forme que (I, i) par rapport à X, , etc. 

 On les traitera de même. Puis tenant compte des résultats obtenus pour 

 transformer (I, 2) et (I, 3), on sera conduit à traiter ces équations trans- 

 formées d'une façon analogue, quand la solution n'apparaîtra pas immé- 

 diatement. Pour passer en revue toutes les solutions possibles, il restera à 

 envisager : 



1° Le cas où l'on suppose nulles ensemijle les quatre fonctions X,, X,', 

 X!,, X'3. Mais alors la fonction u est nulle; 



•1° Le cas où l'on a A, = B, = C, = D, — o sans autre condition pour 

 satisfaire à l'équation (I, i). Mais alors u est encore nulle. 



On met ainsi en évidence la nécessité d'étudier à part le cas où l'une des 

 trois fonctions u, c, «■ est nulle. On est ainsi conduit à étudier les séries sui- 

 vantes : 



I. Solutions correspondant au cas où l'une des fonctions «, c, iv est nulle, par 

 exemple ir. Il y a intérêt, comme nous le faisons d'ailleurs, à étudier les solutions plus 

 générales caractérisées par la condition n' =: o (i). 



II. Solution correspondant au cas 0(1 le produit X, YjZ', est nul. 



III. Solutions correspondant au cas où X'[Y'ÔZ!J est nul. 



IV. Solutions correspondant au cas où X], XJ,, X', s'expriment d'une façon linéaire 

 et homogène par rapport à X'[. 



V. Cas où les fonctions X'j, X,, X|, et X', sont liées par deu\ relations linéaires et 

 homogènes. 



\ I. Cas où les fonctions X';, X,, X'^ et X';, sont liées par une seule relation linéaire 

 et homogène. Il faut remarquer qu'on est conduit à démontrer que cette hypothèse ne 

 mène à aucune solution ne rentrant pas dans l'un des types précédents. 



Quelques types de solutions : 



» = o ^/ = (Â_r-t-c<)(C---t- D). 



v — {ach',uv+ otsh'.ij;) (icosf.j; -+- (3sinw;) r == (E .r -h F) (G: -+- H), 



It 



(com[)rend la torsion simple); 



Il — {Kx H-oe) (C; -t- 7), 



C(A-+-B) 



2(i: + i) 

 (A-i-B)Cc 



iz'+ D;-h E, 

 -t-(A + m-/ -t- D 



