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D'ailleurs 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



Désignonspari', , ...,g;, ..., i;-^, X- entiers positifs avec A- < m, w = ^ ir; • 



On peut, par un choix convenable de variables, mettre la matrice S^. sous 

 wne forme réduite que voici {jy,^, est un Tableau à gx lignes et g^ colonnes 

 ayant les ^^p pour cléments) : 



S.= 



PU Pl2 



l'kX Pu 



Piv- 



PI. 



Pl.Jc-\ 



Répartissons les x,^, £„, f^ en systèmes X), E>, F) de la façon suivante : 

 X,, par exemple, contiendra les «, premières a^ai les g^ suivantes x^, figure- 

 ront dans X.j ; ... ; X^. contiendra les g^ dernières x^. Alors, dans la forme 

 réduite, « le système F), : l'^ne dépend pas de X), X)+,, . . . , X^^. ; 2° dépend 

 de chacune des variables de X>_, ; 3" dépend des variables de X,, Xn, . . ., 



Xx-a »• 



Soient, dans la suite i, 2, .... X:, trois entiers A, A', A", dont le premier 

 est le plus petit entier supérieur aux deux autres. « Le produit de deux unités 

 de E)/, et de E)», ne dépend que des unités de E) , E>+, , . . . , E;^, » 



La forme réduite permet d'établir un procédé régulier de calcul pour 

 passer d'un groupe m-aire à un groupe (m -+- i)-aire. Comme application, 

 j'ai construit tous les groupes (t) pour m = 2, 3 et 4- Les voici, sous 

 l'expression {i) = (/,, ...,/„,..., /„) : 



m r= 2 : (o, x\) ; 



m =zo : {o.o,iXiX.,), (o, o, .rj), {o, x\,iXiX,); 



1)1 =r 4 : 



{o, o, o, xl-h 2XiXj), (o, O, O, Xj), (o, o, .(■;, .X'5 + 2a-',.X':,), 



(0,0, 2.i-,,i-,, «4,1 '^1 -1- «iiiXl ), (o, x\, 2.^■,.^^, o), 

 (o, x'I, 2XiX.,, xl -h a^i-rj). 



Si, dans un groupe /n-aire (e), la matrice S^ a le rang r, les m expres- 

 sions /"jj sont liées par m — r relations distinctes, algébriques et homogènes. 

 Le groupe sera dit normal, si ces relations sont toutes linéaires; sinon, 

 (s) est anormal. 



