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(1907 el 1908), du Journal de Malhématiques (1908), ainsi que dans un 

 Mémoire qui doit paraître prochainement aux Acta matliematica, les déve- 

 lopper en séries de polynômes convergentes. 

 Ecrivons d'abord (i) sous la forme 



F( lï', X) r-: "y (,'" ( I + <I„X + ...-;- Cl'.; ' .»■''-' + - '^'"''' \ , 

 ^^ \ I — a...r ' 



OU encore 



(2) F(«vr)=r.sv + V,,.«_<£!L. 



Je désigne par s^, rensemble de tous les termes tayloriens dont le degré 

 est inférieur à />; c'est là ce que j'ai appelé \x\\ polynôme taylorien. 

 De (2) on conclut immédiatement que, si x tend vers zéro, 



.. F(.r. x)-.v 



lim -, = o. 



xi'-^ 



ce qui est la propriété capitale utilisée par M. Poincaré. 

 Je vais procéder autrement. Soit 



une fonction entière ayant l'origine pour zéro. Soit c^, = Y/<s''- 



Si l'on multiplie la formule (2) par Cp et si l'on sonmie par rapport à p 

 de I à l'infini, il vient 



/(ç) F(u', j,j — 2 c,„V/, n-^ "■"■73-^- 

 /■- 1 



Telle est la formule fondamentale qui réalisera un développeinenl de 

 F(a-, .r) en série de polynômes s^,, si l' on peut annuler le dernier sigma. 



Or il y a bien des manières d'arriver à ce but, et je me contenterai ici 

 d'en indiquer une en partant d'hypothèses simples. Soient 



• TTC ,. > • T:ia„x 

 y(i:)T=sin -, /(ir/„.î-) = sin— ^- 



Admettons de plus que les a„ soient toujours des nombres entiers et les x 

 toujours des nombres rationnels de la forme 



2(/ 



/• étant constant. Alors, si H = 2/--t- i, f(^a„x) est toujours nul./( ? ) ne 

 l'est jamais et le développement désiré est effectué. 



