l588 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



système de droites, c'esL-à-dire une correspondance indépendante de tout 

 système particulier de coordonnées; cette correspondance synthétique est 

 possible, non pas seulement au point de vue projectii", mais même au point 

 de vue des relations métriques. C'est ainsi que M. Bricard a déjà trouvé, par 

 exemple, que l'équation de la pentasérie linéaire la plus générale peut se 

 mettre sous la forme synthétique 



/; lanir - =: k, 

 ■?- 



k étant une constante et h et représentent respectivement la translation 

 et la rotation du mouvement hélicoïdal au moyen duquel on peut atteindre 

 toute position A appartenant à la pentasérie, à partir d'une position fixe A„ 

 Tqui joue ici un rôle analogue à celui de Vaxe ventral dans un complexe 

 linéaire). 



Le but de cette ÏSote est de compléter le parallélisme entre les systèmes 

 de droites et les systèmes de corps solides, en introduisant la notion des 

 corps solides opposés: je dirai que deux 'positions A et A' d'un corps solide 

 sont « opposées » lorsque la rotation du rnom'ement hélicoïdal permettant de 

 passer de k. à A' est égale à t:{\^ translation étant d'ailleurs quelconque). 

 Par exemple, la pentasérie linéaire présente deux cas spéciaux intéressants : 



k = o et A' r= oc. 



Dans le premier cas, la pentasérie se réduit à l'ensemble des positions A 

 réciproques d'une position fixe A„. Ces deux cas correspondent anx deux cas 

 spéciaux d'un complexe linéaire de droites: 



h tang5 — k\ 



lorsque k = o, on a le complexe spécial des droites D rencontrant une droite 

 fixe D|, et lorsque /• = ce, on a le complexe spécial des droites D perpendicu- 

 laires à une droite fixe D„. 



On voit donc que les corps solides opposés correspondent aur droites per- 

 pendiculaires en géométrie réglée. En effet, dans cette dernière géométrie, 

 les droites ne possédant pas de sens, il suffit donc d'une rotation de 180° 

 pour ramener une droite en coïncidence avec elle-même, tandis qu'il faut 

 une rotation de 36o" pour ramener un corps solide en coïncidence avec lui- 

 même. Un angle en géométrie réglée correspond donc à un angle 2 pour 



les systèmes de corps solides, en particulier l'angle - dans hi première géo- 

 métrie, correspond à l'angle t. dans la seconde. A tout système de droites 



