iSpo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



la flexion d'une fibre élémentaire est entièrement déterminée par l'axe de 

 flexion correspondant. 



Pour une fibre élémentaire issue d'un point M (a-, y, z) et ayant pour 

 cosinus directeurs a, j3, y, les équations de l'axe de flexion sont 



(1.1 y.{\ — x) + i^{\ -Y) -+-y(Z- :;) = o, 



(2) 



R^, R^, R^ désignant, comme dans notre précédente Note, les composantes 

 de la rotation dérivée dans le sens de la fibre. 



2. Deux flexions d'une même fibre élémentaire se composent en une 

 seule. L'axe de la flexion résultante s'obtient par une construction géomé- 

 trique remarquable. Considérons les deux axes de flexion et les parallèles 

 menées à ces axes par l'origine M de la fibre. Ces quatre droites forment un 

 parallélogramme situé dans le plan normal à la fibre. L'axe de la flexion 

 résultante est celle des diagonales du parallélogramme qui ne passe pas par 

 le point M. Nous sommes ainsi inonduits à un curieux mode d'association 

 de droites qui devrait sans doute se retrouver dans d'autres questions de 

 Géométrie; il correspond par polaires réciproques à l'addition géométrique 

 des vecteurs. 



Le théorème de Meusnier se rattache à cette construction. On pourrait 

 l'énoncer en disant que la courbure d'une courbe tracée sur une surface est 

 la résultante de la flexion normale et de la flexion géodésique. 



3. Flexion de torsion et flexion polaire. — En appliquant à la rotation 

 dérivée un procédé courant de la géométrie des vecteurs, on la décompose 

 en deux parties, l'une symétrique, l'autre dissymétrique. La première a 

 pour projections sur les axes, les demi-dérivées de la torsion par rapport 

 aux cosinus directeurs. Elle est perpendiculaire au plan diamétral conjugué 

 de la fibre dans l'indicatrice des torsions. Sa direction est donc, en général, 

 dilVérente de celle de la fibre; elle admet par conséquent une composante 

 normale à laquelle correspond une première flexion que j'appelle la flexion 

 de torsion. 



IjCS composantes de la partie dissymétrique peuvent s'écrire 



