SÉANCE DU 20 JUIN 1910. 1607 



Je définis ensuite les coefficients Uj sous la condition 



Les équations précédentes donneront ainsi les inconnues toujours avec les 

 mêmes ordres d'erreur que les équations employées par Hill, mais avec une 

 approximation plus grande, car elles sontplus complètes ; il suffit d'ailleurs 

 de trois approximations successives pouravoir a±, avec une erreur de l'ordre 

 de m"'. Alors, à la première approximation, les coefficients «+, dont dépend 

 la variation satisfont aux équations suivantes : 



(«„=■) 



ai, —«_,-+- >>i'-r- 



Or, aux environs de m = o, le théorème de Cauchy sur les fonctions impli- 

 cites est ici applicable; les développements de a.,-, définis par ces équations 

 seront donc convergentes depuis m = o jusqu'à la valeur critique de m la 

 plus petite. Pour toutes ces valeurs critiques, le déterminant fonctionnel 

 de/,, /l, par rapport à a,, a_, est nul; et cette circonstance a lieu lorsque 

 les deux solutions périodiques correspondant à a±, se confondent en une 

 seule, ou bien, en regardant a, et «_, comme les coordonnées courantes 

 d'un point du plan, lorsque les hyperboles y, =; o,y_, = o deviennent tan- 

 gentes. Je considère alors le discriminant F(X) de l'équation/, -+- X/., = o 

 qui définit les sécantes communes à ces deux coniques; j'exprime quÊ le 

 discriminant du hessien de F est nul, et, avec p =^ m, j'obtiens une équation 

 du 20'' degré en m; mais en regardant m et/j comme indépendants l'un de 

 l'autre, cette équation est de la forme 



AlVP-l-BM -i-C = o. 



où M = //z''(38 -f- 2Sp -+- gp') et A, B, C des polynômes entiers en p. Je 

 fais ensuite varier /> dans l'intervalle (o, i); je calcule de proche en proche 

 une série de valeurs du module | M|, j'en déduis les valeurs correspondantes 

 de |;« |, et puisque les valeurs acceptables pour la convergence sont celles 

 pour lesquelles on a 



je trouve que la valeur critique de m tombe entre - et -• Une limite supé- 

 rieure encore acceptable esl m ^ ^r —- p. 



