SÉANCE DU 20 JUI\ 191 0. l(3t)3 



Ce groupe de rationalité indique, du reste, comment les caractéristiques 

 de (S) s'échangent par les transformations de (y). 



2. Si le groupe (y) est connu, la méthode d'intégration quis'ofl're d'elle- 

 même est la suivante. Soit (y,) un sous-groupe de (y), contenant (L): ses 

 équations de définition dépendent rationnellement de certaines fonctions 

 de x,, ..., as,,, qui satisfont à un système différentiel automorphe rationnel; 

 une solution quelconque de ce système auxiliaire fournit un sous-groupe 

 homologue de (yi), et qu'il n'y a aucun inconvénient à considérer comme 

 (y,) lui-même. Si l'on adjoint celte solution au domaine de la rationalité 

 primitif, on obtiendra donc une réduction du groupe caractéristique, qui 

 deviendra (y,) ou un de ses sous-groupes. On opérera de même sur le nou- 

 veau groupe caractéristique, et ainsi de suite, jusqu'à arriver à (L) lui- 

 même. A ce moment, l'intégration de (S) sera effectuée. 



Dans cette méthode qu'on peut, du reste, préciser davantage, on déter- 

 mine une solution de chacun des systèmes auxiliaires introduits. Imaginons, 

 au contraire, qu'on les intègre complètement. On démontre que, d'une 

 manière générale, si l'adjonction simultanée de toutes les solutions d'un 

 système différentiel rationnel (définissant des fonctions des variables indé- 

 pendantes X,,..., x„) réduit le groupe (y), elle le réduit à un de ses sous- 

 groupes invariants. 



Ce résultat essentiel conduit à prendre pour (y,) un sous-groupe inva- 

 riant maximum de (y), à opérer de même sur (y,), et ainsi de suite. Comme 

 on peut faire en sorte de n'opérer que sur des groupes transitifs, le passage 

 de (y) à (y,) dépend, si l'on veut, de l'intégration d'un système complet à 

 groupe de rationalité simple. Ce dernier problème est ainsi le problème 

 d'intégration fondamental de cette théorie, 



3. Le groupe (y) est défini par certains invariants différentiels, qui 

 satisfont, en particulier, aux équations obtenues en égalant à zéro les trans- 

 formations infinitésimales L^/, convenablement prolongées. En théorie, la 

 détermination du groupe caractéristique d"un système (S) donné dépend 

 donc de la recherche des intégrales rationnelles de certains systèmes com- 

 plets i-ationnels. Observons que ces systèmes complets et ces intégrales ne 

 sont pas quelconques. 



4. Pour la définition et la réduction du groupe caractéristique, on peut 

 substituer au groupe (L) un de ses sous-groupes (L') qui n'admette pas 

 d'autres invariants d'ordre zéro que ceux de(L); par exemple le groupe fini, 

 d'ordre q, qui est défini par les transformations infinitésimales L^f. C'est 

 ce que nous avions fait dans notre Note du 8 novembre 1909, pour le cas 



