SÉANCE DU 20 JUIN I910. lG65 



Dans ces conditions, si la déformation est telle que le nouveau contour 

 enveloppe partout l'ancien sans lui être nulle part intérieur, cette variation 

 Cig\ relative à deux points confondus est donnée par une intégrale portant 

 sur un carré, de sorte qu'elle est essentiellement positive, soit 



(>) ^>A>0. 



Mais on peut aller plus loin. 



Dérivons maintenant j,' tant par rapport aux coordonnées ic, y du 

 point A que par rapport aux coordonnées x' , y' du point B, en supposant 

 que la dérivation soit la même de part et d'autre, c'est-à-dire considérons 

 l'expression 



Si nous calculons la variation de cette quantité pour une déformation d'u 

 contour (telle que l'ancien contour soit entièrement intérieur au nouveau) 

 et que nous confondions encore les points B avec A, la variation en question 

 sera, elle aussi, exprimée par une somme de carrés et, par conséquent, sera 

 toujours positive^ soit 



autrement dit, en passant de déformations inOniment petites à des déforma- 

 tions finies cjui en sont la superposition, la quantité 



' ày- dy'i- <).>•"' dy'!' 'a 



est plus petite pour un contour enveloppé que pour un contour enveloppant, 

 quels que soient les exposants de différent iation a, 'p. 



Cessons maintenant de supposer A et B confondus, et prenons d'autre 

 part une dérivée qui ne contienne pas de la même manière les coordonnées 

 de A et celles de B; pour simplifier l'écriture, bornons-nous à celles qui ne 

 comportent que des dérivations par rapport aux coordonnées de A. Nous ne 

 serons plus renseignés sur le signe de la variation d'une telle dérivée ; mais, 

 par contre, nous aurons une limite supérieui'e de la variation absolue de 

 cette variation par l'inégalité de M. Schwarz ( '), savoir 



I ja-t-?/)-^ I // ,12x^28 „ A 



^ I dy-'dy^\ \ \ (>.r'-<fh-?(;-r'«dj'P/A 



(') I oir le Mémoire cité des Savants étrangers, p, 3o. 



