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GÉOMÉTRIE. — Extension aux lignes géorlésicjues d'une propriété cinématique 

 (le la ligne droite. Note de M. A. Petot. 



Quand une courbe C, qui se déplace sans se déformer, reste ligne géo- 

 désique de la surface S qu'elle engendre, on sait que, si elle est normale à 

 la trajectoire d'un de ses points, elle l'est aussi aux trajectoires de tous les 

 autres. C'est là manifestement une extension aux géodésiques d'une pro- 

 priété particulière de la ligne droite. Gomme cette dernière propriété est 

 susceptible de généralisation, la question se pose de voir s'il n'en serait pas 

 de même pour les géodésiques. J'ai été ainsi conduit à chercher, dans le 

 même ordre d'idées et sous la même forme que pour la droite, une propriété 

 cinématique des géodésiques égales, qui ne présentent plus la particularité 

 d'être normales aux trajectoires de leurs points. 



Il était tout indiqué ici de prendre pour lignes (f) les diverses positions 

 de la courbe mobile C, pour lignes (m) les trajectoires des points M de cette 

 courbe, et comme trièdre attaché à la surface S le trièdre ^Ixyz ayant pour 

 arêtes Ma-, M v et Mz la tangente, la binormale et la normale principale à 

 cette même courbe. On obtient, avec les notations du Cours àe M. Darboux 

 (t. II, p. 382), 



(i) î-i, -0 = 0, r = o, 



valeurs qu'il suffit de porter dans la relation générale 



et dans la formule 



(3) ds cos M =^ El dt' 



relative aux lignes (u), pour mettre en évidence ce double fait : 



Quand une courbe se déplace, sans se déformer, de manière à rester 



ligne géodésique de la surface qu'elle engendre, la projection de la vitesse 

 de l'un quelconque de ses points sur la tangente en ce point a, au même 

 instant, la même valeur pour tous ses points; et réciproquement, si cette 

 dernière condition est remplie, la courbe considérée reste ligne géodésique 

 de la surface qu'elle engendre. 



La première partie de ce théorème est la généralisation cherchée de la pro- 

 priété des géodésiques égales, rappelée au début de cette Note; elle peut 



