SEANCE DU 17 JUILLET 1911. 171 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe importante de noyaux asymé- 

 triques dans la théorie des équations intégrales. Note de M. A. Koiix, 

 présentée par M. Emile Picard. 



Nous appellerons réciprocjues par rapport au noyau K {x,y) deux noyaux 

 k\x,y) et^(a7, ^), quand on a 



(1) f k{x,u) f k'{u,v)K{i',y)di-^fa = K{.r.y), 



(2) / /,'(«,)•)/ k(i\ ii)K{.r. v)dv'/(i = K{jc, y), 



sans nous borner à des fonctions K(aî,j), /-'(a^, r) et >5- (a?, j) continues dans 

 l'intervalle o^.a;^i, o^^^i, nous supposerons que les intégrations soient 

 permises dans (i) et (2) et qu'on arrive toujours dans la suite des fonc- 

 tions : 



K{a',z)K(z.y)dz^ K,(j?,j)=J K,{.r^ z)K{z, y) d:. .... 



(3) lk[{j:y)= f A'(.i;z)K{z.y)dz, k,{x,y)^f k\{x, zMi^z. y) dz, ..., 



\ r' /• ' 



^■1 {-r, y) ^ j A( j, y) K (.r, ;) dz, A, {.r, y) = A;{z, y) K (.r. z) dz, 



à des fonctions continues après un nombre limité d'opérations. 



La classe importante de noyaux asymétriques que je veux signaler ici 

 est celle où deux noyaux k'(^x, y) et k(x, y) symétriques et réciproques par 

 rapport à K(.r, y) existent et remplissent la condition suivante : 



Soit /(a;) une fonction quelconque de r continue dans l'intervalle o <a;^ i 

 et admettons la même continuité de la fonction 



(4) 



/{■f) = I J\y)k'{^,y)dy, 



l'inlégration étant supposée permise ; nous supposerons qu'on ait 

 toujours 



(5) f f{.v)J\x)dx = o. 



