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HYDRODYNAMIQUE. — Sur la théorie de la houle en profondeur finie. 

 Note de M. H. Vergne, présentée par M. .1. Boussinesq. 



Dans un bassin de profondeur constante H, nous définirons la houle 

 cylindrique comme un mouvement périodique dans lequel toutes les parti- 

 cules liquides décrivent indéfiniment des orbites fermées dans des plans 

 verticaux parallèles, et où, sur chaque surface horizontale, toutes les cir- 

 constances du mouvement se propagent, normalement à un plan vertical 

 perpendiculaire aux plans des orbites, avec une vitesse (ou célérité) con- 

 stante 0). 



Nous prenons le plan des xz parallèle aux plans des orbites, Taxe O; 

 vertical et dirigé vers le bas, le plan des xy coïncidant avec la surface libre 

 du liquide au repos. Taxe Ox parallèle à la direction de propagation. 

 Nous n'étudions que des mouvements plans, indépendants de j, et nous 

 nous en tenons à la première approximation, en négligeant les carrés et 

 produits des déplacements et des vitesses. 



Appelons T la demi-période de la boule, et désignons la demi-longueur 

 d'onde par L = a)T. D'après un théoiènie connu, le mouvement étant 

 périodique, il existera, en première approximation, nw potentiel des vitesses cp, 

 qui, puisque le mouvement se propage, dépendra des deux seules variables 



X = X — ',il e l . 



Puisque s admet par rapport à / la demi-période T, il admettra par 

 rapport à a; la demi-période L. 



Pour déterminer ce potentiel cp(X, :;), nous avons les équations suivantes, 

 bien connues en Hydrodynamique 



Equation indéfinie : A'y = -r-^ -+■ -r— i; rr o. 



(i) . Condition au fond (pour ;:= H) : -^ := o, 

 Condition à la surface libre (pour j:rzo): 





~ ' 



avec la condition supplémentaire que '^(X, s) admette la période 2L par 

 rapport à X : il suffira donc de déterminer ç dans un rectangle K de 

 hauteur H et de base 2L. Remarquons même que s se trouve entière- 

 ment déterminé (à une constante additive près), par la connaissance de 



