SÉANCE DU 17 JUILLET I911. 1 7.Ï 



/ _? ^ j que, dans la suite, nous appellerons 9', l'accent « prime » appliqué 



à une fonction quelconque indiquant qu'il s'agit de la dérivée de cette fonc- 

 tion par rapport à z, prise à la surface libre s — o. 



On connaît depuis longtemps une solution de ce problème : elle est 

 donnée par la formule suivante (où A el B désignent deux cocflicients arbi- 

 traires) 



( 2 ) 9 = COS lljp j ( A COS -j (- D sin -r— 1 ) 



la demi-période T, la demi-longueur d'onde L, et la vitesse de propaga- 

 tion co étant reliées par les deux relations 



(3) _-a, = y/2_ tanghyp— . 



Mais on n'a pas, à ma connaissance, démontré que cette solution est 

 la seule ( ' ), et c'est ce que je me propose d'établir. 



Supposons qu'il existe une autre solution'^ -+- $ correspondant à la même 

 valeur de oj, et par suite aux mêmes valeurs de L et de T : je dis que 4> est 

 une constante. 



Développons 0'-+-$' (fonction de X périodique et de période aL) en 



série de Fourier 



, . , T. . , 7: H v" / . " 7: X , , . iiT.X 

 o'-f-<P'=— j-sin hyp— ^( A„cos— j ^ B,, sin — — 



les termes correspondant à « = i ne sont autres que 0', conformément 

 à (2) ; et l'ensemble de tous les autres termes représente <I»'. 

 Considérons les fonctions suivantes, en nombre infini 



, nr.iW — -) COS «71X , . , 



o„=ncoshyp ; . — ; — (//= entier quelconque); 



elles satisfont aux trois équations (i;, pourvu qu'on donne à w les valeurs b)„ 

 correspondantes; el elles admettent, par rapport à X, la demi-période -^j 

 sous-mulliple de L. 



I ') On sait seulement que clans Je cas oii la profondeur H esl i/ijinù-. M. Boussinesq 

 a démontré cette unicité de la solution, et établi que toute houle régulière à mouve- 

 ments évanouissants aux grandes profondeurs est régie par les lois de Gerstner 

 (voir Comptes rendus, lo et 17 juin 1893). 



