SÉANCE DU l/| AOUT 19IT. 4ll 



j'écrirai 



(^) «^-^^^ = "^' 



è et c désignant deux certaines constantes positives données. 



III. Formons d'abord les autres relations, et les solutions simples corres- 

 pondantes, pour là seconde des questions posées, celle de M. Annycke. On 

 y a, comme conditions relatives aux deux extrémités, 



(3) ( pour .r = o el a* =: /) -7—1=0, ^ =; o. 



Restent les conditions d'état initial, ou relatives à l'instant f = o, dont 



l'une, dès à présent évidente, consiste à y annuler les vitesses -j-- 



Quant" aux autres, M. Annycke admet des températures primitives, 

 6(,=y^(a;), produites, un peu antérieurement à l'instant i = o, avec une 

 lenteur suffisante pour que la barre, à extrémités fixes, y soit en équilibre 

 mécanique ou soumise à une tension constante d'un bout à l'autre; d'où il 



suit que la dilatation élastique ^ — D0„, ou-7-(^o — D/ 9,-û?a;j, s'y 



trouve indépendante de x. Donc la fonction ^„ — D / 0„(7.r, nulle, 

 d'après (3), pour a: = o, y est proportionnelle à x\ et, encore d'après (3), 



r' 



elle égale — D / 0„ dx pour x = /. Ln résumé, on aura 



«-'il 



(pour< = o) 6=eo = /{x), ^ = d( f Ooda^-j f Ôodx 



(4) 



Ces dernières formules, seules équations du problème où figurent des 

 termes ne contenant pas 0, ^ ou leurs dérivées, montrent que, si l'on décom- 

 pose la fonction 0„ = fi'^) en plusieurs parties, les expressions totales de G 

 et de ^ en x et en t seront les sommes pures et simples des expressions 

 partielles qu'on aurait eues en réduisant successivement Ôo à chacune de 

 ces parties. 



Déduisons d'abord de là que le problème se dédoublera en deux, corres- 

 pondant : l'un, au cas où /'(.r) se réduirait à la moyenne de ses valeurs 

 efîectives d'un bout à l'autre; le second, au cas où /(x) serait partout 

 l'excédent, sur cette moyenne, des valeurs données et deviendrait ainsi une 

 fonction à valeur moyenne nulle. 



