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Le premier cas est celui d'un échauffeinent initial 0^, uniforme, où l'équa- 

 tion (2), complétée par les premières (3), conduit à prendre simple- 

 ment G ■-= 6„e"P°'. Or, alors, les équations en ^ donnent ^ = 0, avec une 

 tension de la barre, — EaDO, uniforme aussi et graduellement évanouis- 

 sante. Ainsi, le phénomène consiste en un simple refroidissement commun 

 de la barre, avec décompression graduelle, sans aucun des mouvements 

 longitudinaux qu'on se proposait d'étudier. 



IV. Il y a donc lieu de se borner au second cas, celui où la fonction 6„, 

 c'est-à-dire /'(a;), est de valeur moyenne nulle. ¥a l'on a alors, comme con- 

 ditions d'état initial, 



(5) {pom-t = o) d = 9o=f(x), -^=0. c^DJ dod.r, avec i 9^ 



dx : 



Formons des solutions simples où soit le produit CTX d'une constante 

 arbitraire C par une fonction, T, de / seul et une fonction, X, de l'abs- 

 cisse a? seule. La substitution de TX, dans l'équation (2) divisée par 0, 

 montre que les deux quotients de T' par T et de X" par X doivent se réduire 

 à deux constantes, — ^a et — a." respectivement, reliées entre elles par la 

 formule 



(6) ^ = b-^-caK 



L'on a donc T' = - j3aT, X" = - a'^X (d'où aussi T"= - j3aT'= ^'a^T, 

 X"'= — a-X'); et l'on pourra prendre (à des facteurs constants près), vu 

 d'ailleurs les premières conditions (3), 



\ TrreP'", X=:cosax, «=^ 



(7) _ ' 



( (i étant l'un quelconque des entiers i, 2, 3, . . .). 



Il résulte immédiatement de là, pour correspondre à = CTX, une 

 forme de ç, ^TX', proportionnelle à TX' et vérifiant toutes les conditions, 

 sauf les deux avant-dernières (5) d'état initial, c'est-à-dire vérifiant l'équa- 

 tion ( I ) et les conditions ^ ^ o relatives aux deux bouts x :=^ o, x = l : il 

 suffira de faire X" égal au quotient de — DC par la somme a^-f-^'. Enfin, 

 l'on satisfera aux deux avant-dernières conditions (5) d'état initial, en ajou- 

 tant à cette solution particulière la solution générale de (i) sans second 

 membre , spéc'itiée de manière à ne contenir a; que parle facteur X' (en raison 

 des conditions ^ = aux deux bouts a; = o et a- = l). Il vient ainsi, avec 



