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points A ei B, chacun îles ensembles formés F et F' est iiniconnexe entre A 

 et B (voir Comptes rendus^ 1 1 juillet 1910 ). 



Ce théorème est valable^ par une extension naturelle de la définition du 

 continuum à un ensemble fermé uniconnexe quelconque E, sila base des 

 continuums C et C est un ensemble E biconnexe (en particulier pour les 

 espaces euclidiens à un nombre quelconque de dimensions). Il n'est pas 

 vrai sur le tore. Il serait intéressant de rechercher si la biconnexilé de l'en- 

 semble E est la condition nécessaire et suffisante d'exactitude du théorème. 

 La surface à un côté (habituelle) étant biconnexe, admet le théorème fon- 

 damental. L'une des conséquences du théorème fondamental est que, si 

 deux continua appartenant à un ensemble biconnexe admettent la même 

 frontière, celle-ci est d'un seul tenant. 



Considérons un quadrillage du plan, du tore, de la surface à un côté, et 

 un domaine (continuum augmenté de sa frontière) formé de carrés ap- 

 partenant au quadrillage. Si deux carrés opposés par un sommet A appar- 

 tiennent à un domaine D, les deux autres carrés possédant A pour sommet 

 n'appartenant pas à D, nous appelons A sommet double delà frontière F 

 de D et nous considérons A comme la réunion de deux sommets précisés 

 A' et A", constitués par des quadrants déterminés par D sur une circonfé- 

 rence infiniment petite ayant pour centre A. A' et A" sont dits conjugués. 



On montre aisément que tout sommet (précisé s'il le faut) de F appar- 

 tient à un cycle de sommets et à un seul, le résultat subsistant pour toute 

 surface où l'on peut définir un quadrillage. Deux points du cycle déter- 

 minent deux arcs dans le cycle. Le théorème fondamental permet d'établir 

 les résultats suivants, tous inexacts pour le tore, mais exacts pour la surface 

 à un côté : 



I ° Si un cycle contient un sommet précisé A' , il contient son conjugué A" ; 



2" Si les sommets conjugués B' et B" appartiennent au même cycle que A' 

 et A", B' et B" sont sur le même arc d'extrémités A' et A"; 



3" Les deux arcs aboutissant en A' et A" n'ont géométriquement de point 

 commun que le sommet double A ; 



[f Si un domaineT) a pour complémentaii-e un continuum, sa frontière F 

 n'a pas de sommet double. (Si D est déduit d'un quadrillage du tore, F peut 

 avoir deux points doubles et sans doute deux au plus.) 



Nous dirons qu'un ensemble fermé est uniformément uniconnexe en M, 

 si la chaîne de pas inférieur à £ joignant A et B peut être choisie telle que 



c. R., 191 1, 2' Semestre. (T. I.=i3, N" 7.) ->'] 



