SÉANCE DU 2 1 AOUT I911. 4^3 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques généralisations d'un théorème 

 de Weierstrass. Noie de M. Miciiei, Fekete, Iransmise par M. Emile 

 Picard. 



1. Soit une suite indéfinie de fonctions analytiques, 



(1) ■ /,(.0, .A(^). -... Ms), ... 

 développables en séries de Dirichlet de la forme 



(2) Vf,(*,g-x„,- (A- = i,2, ...) 



convergentes pour R ( j) |> a, les À satisfaisant aux conditions de M. Schnee 



limsup-Y"^ — /<a); -. —j- = O («"'■..''+3)). 



'VI '-«-t-i '■« 



On a le théorème suivant : 



I. Si la suite (i) converge uniformément pour \\{s) >a sa limite ¥{s) 

 représente une fonction analytique qui peut être développée en une série de 



Dirichlet V a„ e"'^»', convergente pour R (s) >■ a, où 



a„=limaj/'' (« =: i, 2, . . .). 



Ce théorème comprend comme cas particulier le théorème de Weierstrass (') 

 concernant les suites des séries entières. 



li se dénionlie en parlant d'une formule de M. Schnee (-) qui nous donne pour|3>a 



,+ w 



a</'=lini / /■/,( (3 + <0 '?''"' ^"^"'''^' (« = 1.2,...). 

 •^ = "-'--„ 



En elTet, on en déduit pour d'assez grandes valeurs de A l'inégalité 



(') Abtiandtungen aus dcr Fantclionenlelire, 1886, p. 78. 



(^) Laxdau, Handbucli der Lehre von der Verteilung der Prinizalilen^ l. H, 

 p. 788. 



