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A/,_p désignant le maximum de |/a (*) • — /a+,, (-«) | sur la droite R (.•;) -z [3 qui s'annule 

 avec y uniformément pour tout enliei- positif />. Il en résuite l'existence de la 

 limite lim rtj*'^ a„. 



On se convaincra alors aisément que la série 7 rt„e~''"* est absolument convergente 

 pour H (5) > a + / et sa i-on)me e>t égale à F(i) = lim//. (s). 



A — OO 



On établit la convergence de celle série même pour R (i) > a à l'aide d'un théorème 

 de M. Sclinee, applicable à la diflerence F/, (.ç) =^ F(i) — fk(s) p'>nr d'assez grandes 

 valeups de /. 



2. lin reprenant les liypothèses et les notations adoptées au cléhul du 

 numéro précédent, supposons que la suite (i) soit pour R(,v)> a uniformé- 

 ment bornée, c'est-à-dire que les modules des fonctions f„{s) restent, 

 quel que soit X-, bornés pour K(5) > a; supposons de plus que la suite (i) 

 converge en une infinité de points de ce domaine ayant au moins un point 

 limite intérieur au domaine R(*) > a -j- /. 



II. Dans ces conditions la suite f/^i^s) converge uniformément dans le demi- 

 plan H(*) '^ tu + l et dans toute aire finie intérieure à la bande a!: Il(*);îa +- / 



vers une fonction limite ¥(s'], développable en une série de Dirichlet ^ a„e''«'. 



" = ' 

 (/ui converge pour l\{s ) > a, les a étant donnés par les égalités 



a„= limrt,,*' (/» = !, 2, .. .)• 



Cette proposition, généralisation d'un théoième de M. Vilali ( ' ), conipiend comme 

 cas pailiculier noire généralisation du théorème de Weierslrass. Sa démonslratifin 

 repose sur le lemme sui\ant (^) : 



Si l'on a une suite indéfinie de fondions iiniforniénienl bornées et dévelojipables 

 en séries de Dirichlet de la forme (2). coin-ergenles clans le demi-plan R(i)>a, 

 on l'eut extraire de celte suite une suite noucelle convergeant uniformément dans 

 le domaine W {s) >;!-+-/ vers une fonction limite, dé\'eloppable ici en une série de 

 Dirichlet de la forme (2) absolument concergente. 



Ou déduit iuiuiédiateinenl de ce lemme la convergence unifoinie de la -uile (ijpour 



(') Sopra le série di fuuzioni analitiche (Rendie. del R. /st. Louil>a/du, 2" série. 

 t. XXXVlh 



(-) Ce le:nme est une généralisation d'une proposition due à M. Morilel (Leçons sur 

 les séries de iKilynomes, [). 21). 



