SÉANCE DU 21 AOUT 1911. ^65 



K(*)>a-t-/, la fonction limite 1'(a) étant ici développulile en une sériel rt„e '"'' 



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absolument convergente. L'existence et rfioloniorpiiie de F (s) dans la bande 

 a <; U(i) ;; j: -H / se démontrent à l'aide d'un théorème de Stieltjes('). Enfin, on 

 conclut la convergence de la série i«„e~''"' dans celte bande du théorème de 

 M. Schnee cité ci-dessus, applicable à la fonction P(s) bornée pour \\{s) > x. 



3. \]n me servant d'un théorème de M. Landau (-) et de la proposition 

 du numéro précédent j'ai démontré le lliéorème suivant : 



m. Supposons que, dans le demi-plan l\(s) >■ a, les équations 



f,,{s) = a,„ fk{s)^'^k 



n'ont pas du racine^ les v.,, et p^ satisfaisant auv conditions 



I «/.!<•/• li3/.|<-/> I a, -,-i, !>;■;, 



pour une certaine constante y- Admettons de plus que la suite (i) converge en 

 une infinité de points du domaine R(5) > a aia/?/ au moins un point limite 

 intérieur au domaine II (a) ^ a. -k- l et quelle est uniforuiémcnl bornée sur une 

 droite (') K (a) = (j„ pour n^^ a. Ces conditions étant remplies, la suite ( i ) 

 converge uniformément dans toute aire finie intérieure au demi-plan R(^)]> a 

 et sa fonction limite est développable en une série de Dirichlet de la forme (2) 

 convergente dans ce domaine. 



Ce tliéorèmc est une généralisation des énoncés I et 11 et il inipli(jue 

 (dans sa forme plus générale signalée dans la Note ci-dessous) un théorème 

 sur les séries entières démontré par MM. Carathéodory et I.,andau ( ' ). 



( ') Correspondance d'Hermite et de Stielljes, t. II, p. 368-3-0. 



C) H. BoiiR und E. Landau, Ueber das Verhalten von^ (.$) iind Ç/, (s) in der ISiihc 

 der Geraden a z=i {Gôtlinger Nachrichten, 1910, p. Bog-Sio). 



(') Notre théorème subsiste encore, si l'on ne suppose que la suite (1) est uniformé- 

 ment bornée en une infinité de points de la droite R ( 5) = o^n, les distances des points 

 successifs ayant une limite supérieure finie. 



(') Beilrcif^^e zur Kom-ergenz xwn Funktionenfolgen {SilzungsbericlUe der 

 l.iin. /imissisc/icn A/,rid. d. Wissenschaflcn , t. W'Vl, 191 i. p. Cto\). 



1:. lî,, 11)11, j' Semestre. (T. V,?,, N" 8.) (J2 



