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sur le tore comme clans le plan, nous pouvons, pour un sens de parcours 

 délerminé sur le polygone P, distinguer la droite et la gauche du polygone, 

 adjoindre à chaque côlé un trapèze à droite (et un à gauche), de hauteur o, 

 de façon que deux trapèzes consécutifs aient un côlé commun, leur réunion 

 formant dès lors un domaine D (o>i D'). o peut être supposé assez petit 

 pour que les hases des trapèzes n'appartenant pas à P forment un polygone 

 simple 1', (ou P, ) sans point commun avec P. Le complémentaire de P se 

 compose de deux continua au plus, puisque tout point n'appartenant pas 

 à P peut être lié soit à ]_), soil h I)',, sans rencontrer P. D a pour frontière 

 P et P,. Il est visible que si l'on pouvait par cheminement continu passer 

 de la gauche à la droite de P sans franchir P, comme cela se passe sur le 

 tore, le complémentaire de D serait un conlinuum. Mais, d'après le 

 théorème fondamental, si deux continua ont même frontière, celte fron- 

 tière est d'un seul tenanl. P et P, n'ayant pas de point commun, il y a 

 contradiction. Donc le complémentaire de P divise le plan en deux 



régions. 



En résumé, d'une part la propriété 1] entraîne la division du nnsinage 

 de P en deux régions dislincles (pareil fait se produit sur le tore, mais non 

 sur la surface à un côté) ; d'autre part la biconnexilé empêche que les deux 

 voisinages puissent se rejoindre à distance finie de P (contrairement au cas 

 du tore). 



Voici comment j'établis le théorème de Jordan. J'établis deux lemnies : 

 Soient L et L' deux continus, tels que, C et C étant respectivement 

 deux des continua dont se conq^osent les complémentaires de L et de L' : 

 i" tous les points de L n'appartenant pas à L' soient dans C'; i° tous les 

 points de L' n'appartenant pas à \, soient dans C; alors : 



a. Si L et L' ont un seul point commun, les points communs à C et à C 

 forment un seul continuum. 



b. Si L et L' ont deux points communs, les points communs à (j et à C' 

 forment deux continua. 



Si r est un arc de courbe de Jordan \x = f {t), y=^ g (l), fel g con- 

 tinues, pas de point double, les extrémités de l'arc distinctes], nous pour- 

 rons décomposer F en un nombre fini d'arcs, la plus grande dimension de 

 chacun d'eux étant inférieure à £, deux arcs consécutifs ayant un seul point 

 commun, deux arcs non consécutifs n'en ayant pas. 



Cela étant, si chaque arc a„ divise le plan en plusieurs régions, lune /•„ 

 contient le point à l'infini, les autres /•'„ sont à une distance de F inférieure 



