SÉANCE DU 28 AOUT If)II. 49^ 



à t. Deux arcs conséculifs a„ et a,,^, sont cliaciiu relalivcmenl à l'autre 

 dans la première région. Donc, d'après le lemme a, leur ensemble ou bien 

 ne divise pas le plan, ou bien le divise en réi;ions dont Tune, partie com- 

 mune à r„ et à /■„+,, contient l'infini, les autres, constituées par /'„ cl /■'„+,, 

 étant à une distance de F inférieure à z. De proche en proche, on établit 

 que le complémentaire de F se compose d'un conlinuum contenant le point 

 à l'infini et peut-être d'autres continua, ceux-ci étant tous à une distance 

 de F inférieure à i. i étant arbitrairement petit, le complémentaire de F est 

 un seul conlinuum. 



Considérons une courbe de Jordan, réunion de deux arcs ayant en com- 

 mun leurs extrémités et pas d'autres points. D'après le lemme h, le com- 

 plémentaire se compose de deux continua. C'est le ihéorème de Jordan. 



Ce théorème admet une généralisation aisée comme les lemmes a et b 

 qui subsistent si l'on y remplace les points communs à L et à L' par des 

 continus communs à h et h' et dont chacun a pour complémentaire un conti- 

 nuum. (_)n obtient le théorème suivant : 



Soient des expressions x = f{t.),y = g{t) : 1° bien déterminées et conti- 

 nues pour toutes les valeurs de t Ço^t^ i) n'appartenant pas à un certain 

 ensemble non dense f ; 2" prenant pour chaque valeur z de I appartenant à e 

 toutes les acceptions sinniltanées constituant le ch(anp d'indétermination E (t) 

 (lu point y, g quand t tend arbitrairement vers ' hors de e\ 3" l'ensemble E des 

 points X, y étant sans points doubles, c est-à-dire aucun point de E n'étant 

 donné par deux valeurs différentes de /; '\° l'ensemble E(t) qui est continu 

 AYANT POUR coMPLEMENTAUiE LN coNTiMLUM ; 5" ks poiuls de E Correspondant 

 à t ^ o et à t =^ 1 coïncidant ; 



Alors : 



L'ensemble E est un continu sans points intérieurs et divise le plan en deux 

 régions, dont chacune a pour frontière la totalité de E. 



Ce théorème esl un cas particulier du suivant, très vraisemblable, mais 

 que je n'ai pas démontré : 



S'il existe une correspondance continue, biunivoque et réciproque entre 

 deux ensembles continus appartenant à deux plans différents, il est possible de 

 déterminer une correspondance de même nature entre tous les points des deux 

 plans, la seconde correspondance coïncidant avec la première pour les points 

 des deux ensembles continus. 



