SÉANCE DU 4 SEPTEMBRE 191I. 5l7 



EfTectuons les opérations 



A (a-,, /ji, ), 



A (/•;,. Pi). A(/-;. /J3), 



A(/'„,/^„), A (/■;,, /j„). 



Il est aisé de voir que cela revient à construire sur T deux cribles d'Era- 

 tosthène jusqu'à p,,, en prenant respectivement pour origine de chacun 

 d'eux deux nombres difl'érant d'un nombre pair. 



Le théorème dont je vais indiquer quelques applications est le suivant: 



Dans tout intervalle de longueiii- v/j„logjD„, v désignant une constante indé- 

 pendante de n, il y a au moins un nombre non effacé. 



Je me suis servi, dans la démonstration, de la formule aujourd'hui clas- 

 sique 



n 

 '^Pi Pi Pi Pu Vo^PnJ 



V, étant une certaine constante. Cependant les inégalités de Tchebicheff 

 conduiraient sans doute à un résultat analogue, quoique moins précis. 



2. Une première application de ce résultat peut être faite au théorème 

 de Goldbach. Il s'agit de savoir si l'équation 



admet des solutions en nombre premiers. Construisons les deux cribles 

 d'Eratosthène effectués jusqu'au plus grand nombre premier inférieur 

 à v'2«, et qui ont respectivement pour origines o et 2a. D'après ce que 

 nous venons de voir, il y a entre o et 2a au moins un nombre non effacé, ce 

 qui démontre le théorème. (On peut même ajouter qu'il existe des solutions 

 pour lesquelles chacune des inconnues est supérieure à ^■la.) 



Toutefois il n'en est ainsi que pour des valeurs de 2.a suffisamment 

 grandes. Pour pouvoir énoncer le théorème dans toute sa généralité, il faut 

 donc entreprendre une vérification numérique pour les premières valeurs 

 de ia, vérification que je me propose d'effectuer. 



Cherchons maintenant s'il existe une infinité de valeurs de n telles que 



Pji + i—Pn= 2- 



