SÉANCE DU 4 SEPÏIÎMBRE 19H. SlQ 



prend, sur la frontière intérieure r, une succession de valeurs également 

 données '|(0) (0 désigne Fargument du point z =^ œ + iy = pe'^). 



Nous rechercherons une fonction de z : il(z) = P(x, y) -\- i(^{x, }')■, 

 dont la partie réelle réponde à la question. 



Supposant ']/ (9) sommable, on peut, en modifiant au besoin Q, par l'ad- 

 dition d'un terme en log^, admettre qu'on a 



/' 



^(9)de 



Ceci posé, la méthode repose essentiellement sur l'introduction de deux 

 fonctions fondamentales : 



1° Une fonction F (z) dont la partie réelle prenne la valeur constante a. sur 

 un arc de C, d'amplitude 2^„, et la valeur zéro sur le reste de C, la dérivée 

 normale prenant en outre la valeur zéro sur la frontière intérieure c. 



L'introduction des fonctions elliptiques aux périodes 20), 20)', liées à q 

 par la relation 



q = e 



me permet de prendre la fonction F(;) sous la forme 



TTtO' 

 2 /(Il 



/ 0) M \ 



2T. 



pi — log; s^ 



2° Une fonction G(-) dont la partie réelle prenne sur la frontière C la 

 valeur zéro, sa dérivée normale pren'int sur la frontière c la valeur ^^ sur un 

 arc d' amplitude 2 i, , et la valeur y sur le reste de c. [[i*, + y (-û — j, ) = o]. 



Je démontre qu'on peut écrire 



7t \/„ "(1 — 217'': cosf/ 4- ^y*;-) (I — 2^'; cos« + y'*;-) . . . 



(1 — 2 — COS U + ■'-:; ]\ l — 2 — COS II + -^ 



X -' = ^-^^ ^ V ^u- 



q 7'\/ " '/'' '/ ' 



— 2 — COS « -h ^ 1 — 2 -^ COS M -H ■!— 



De là, par une décomposition des deuv frontières en petits arcs, et par 

 un passage à la limite, on se trouve conduit à prévoir que la fonction cher- 



