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ACADEMIE DES SCIENCES. 



Il suffira de considérer Ici le dénominateur qui dans notre problème a la 

 forme 



««=2^^//-/ 



\.r,. .r.i, . . . , x„ / 



f/j-, dx^ . . . cijCn, 



le numérateur ayant la signification habituelle, et l'intégrale multiple étant 

 étendue pour les diverses variables à Tintervalle {a, b) dont on a supprimé 

 l'intervalle indiqué. Nous avons à vérifier que le coefficient de A" est une 



fonction linéaire de log -• 



Pour abréger l'écriture, prenons n = 3. D'après les hypothèses faites sur 

 K (j7, y), nous avons le développement en série 



^{■^•y)=^''^"'V,„(y). 



et le coefficienl de 



a) 



en posant 



l' 



l .2.0 



est une somm« d'intégrales de la forme 



Z//:^'^-^"'^'^^^- 



A — F 



(j7,)F„(X2)Fp(j-3) 





■^i.. 



Si mnp^», l'intégrale (2) ne donnera pas de terme en log^- Soit 



alors p = 0; dans le cas où ni m ni n ne sont nuls, chaque terme de A,„_„^^, 

 aura en facteur une puissance de deux des trois lettres x,, a;,, ocj, et, par 



suite, log - ne figure qu'aupremier degré. Enfin si, outre/» = o, on a m ou n 



nul, l'intégrale est nulle. 11 résulte de là que D(X) est un polynôme du 



premier degré en Jog -• 



On démontre par des considérations analogues que le numérateur de 



l'expression donnanty"(a7) est aussi une fonction linéaire de log,-- 



3. On pouvait deviner bien aisément la proposition précédente par 

 l'examen d'un cas particulier utilisé déjà par plusieurs auteurs dans la 



