54o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Appelons ces noyaux pseudosymétriques ; pour ces noyaux il n'y aura des 

 fonctions fondamentales que de l'ordre zéro, c'est-à-dire les équations (t) 

 n'auront que des pôles simples, et l'inégalité fondamentale 



(2) J;^Jy_iJ+, 



permettra de traiter la théorie des noyaux pseudosymétriques à l'aide de la 

 méthode des approximations successives tout à fait comme la théorie des 

 noyaux symétriques. 



On aura les développements 



"/ 



(3) Kix,y)=^j^y^po,,p{3,)'^;,p{y), 



1 I 



i ^■(•'^.j)=2>y]f9y.p(-^)?/.p(j)' 

 1 " "' 



(4) (') 



sinon pour les fonctions K(x, y), â-(x,y), /f'(v, y) elles-mêmes, du 

 moins pour les fonctions itérées, 



K,(j;.j), K.(^-y) 



A-, (x.r), k^{jr,y) 



A\{x.y). A',{jc.y) 



à partir d'un indice fini. 



On remarquera que les fonctions fondamentales 



<P>,P' ?/-.p 



ne coïncident pas avec les « Eigenfunktionen » de M. E. Schmidt dans le 

 cas de noyaux asymétriques. 



Pour finir, je voudrais ajouter encore une remarque pour préciser un 

 point dans ma première Note : au cas où la condition de la pseudosymétrie 

 n'est pas l'emplie, c'est-à-dire dans le cas où les fonctions 



ne seront plus symétriques, il faut d'abord trouver un noyau H (.x-, y), pour 



(') Je suppose ici toutes les valeurs }iy réelles; le cas général n'offre du reste aucune 

 difficulté. 



