SÉANCE DU II SEPTEMBRE 1911. 5^1 



lequel l'inégalité (2) sera remplie, et de telle sorte que les quotients 



correspondant au noyau K.(x, y) soient toujours plus petits que les mêmes 

 quotients correspondant au noyau H (a;, y). 



Ce cas général offre encore quelques difficultés sur lesquelles je reviendrai 

 dans un Mémoire plus explicite. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Théorème sur ks caleufs caractéristiques. 

 Note de M. Tr. Lalesco, transmise par M. Emile Picard. 



1. Ilestintéressant, surtout quand on passe au domaine complexe, d'étu- 

 dier la variation des valeurs caractéristiques de l'équation intégrale 



©(j)— /. r N(a-5)?(i)rfi=/(x), 



en tant que fonctions des limites a et b. On peut établir, à ce sujet, les 

 équations suivantes : 



Supposons le noyau N {x,y) indépendant des limites a et b et soient D (X ; a, è), 



D ( X'^ a,b\ les fonctions bien connues de Fredholm. On a 



Ces formules résultent immédiatement du fait que, si ¥{x^^.r.,^ ■■■,x„) 

 est une fonction symétrique de ses arguments, on a 



-^ ^ .•■/ F(.Çi..Ç2, ^„)ds,...ds„-.- ... I F{bs,, ...,s„)ds,...dsn. 



2. Considérons le cas d'un noyau symétrique et prenons une valeur 

 caractéristique A„, à la seule fonction caractéristique (^„(a;,b). A l'aide des 

 formules (i), on obtient immédiatement 



^''' I (X„):,-9,^(«,a)X„=o. 



