SÉANCE DU II SEPTEMBRE 1911. 543 



Voici ces énoncés : 



1° La frontière d'une région déterminée par F„_| esl identique à F„_,. 



2° F„_| ne détermine que deux régions I et S. 



3" Chaque point de F„_| est accessible pour I et pour S. 



Je résume brièvement mes raisonnements. 



Soient E„_, un espace plan k n —i dimensions situé dans E„, D l'une des 

 deux régions déterminées dans E„ par E„_,, P un point de E„_, non appar- 

 tenant à F„ j. Soit R une région de F„^, située dans D; la frontière de R 

 se compose d'une partie F située dans E„ , et une partie F' située dans D. 

 Je dis que si H + F' sépare dans D le point P de l'infini, F' doit se réduire 

 à zéro. 



Pour le démontrer, décrivons daiis E„_, une hypersphère S„_2 à centre P 

 et construisons moyennant une projection centrale à centre P une repré- 

 selilation univoque et continue de F sur S,,,,. Essayons d'étendre cette 

 représentation à une représentation univoque et continue de R-t-F'-i-F 

 sur S„^2 ; nous trouverons d'iirie part que cette extension est impossible à 

 cause de la séparation de P de l'infini, d'autre part qu'elle serait possible 

 s'il existait une frontière F'. 



On déduit de là qu'une partie fermée de F„_, ne peut pas diviser E„, ce 

 qui entraîne la propriété 1°. 



Soient S la région infinie, Iiirié région finie déterminée dans E„pai'F„_,i 

 Divisons F„^, en deux régions, F'„ ^ et F^^_,, moyennant l'image biunivoque 

 et continue j d'une hypersphère k n — 2 dimensions. Au moyen d'un 

 ensemble d'intervalles adhérents à F^,_, on réussit à construire une variété 

 bilatérale (n — i)-dimensionale ^„_, située dans I, ayant y polit frontière, 

 se Composant d'éléments plans et divisant I en deux régions dont l'utie a 

 pour frontière F^^ , -\-gn^,-hj, l'autre F^^_,-+-^„_| +/. Si la propriété 2° 

 n'était pas satisfaite, F„_, déterminerait une seconde région finie 1', on 

 construirait dans I' une variété g[^ ^ analogue à g„-,, et l'ensenlblé 

 gn-t +on-i +y séparerait F'„ , de F"^ ,, résultat absurde, puisque dans S on 

 peut mener un arc simple joignant F'„_, et F^^ , . 



Soit Q un point arbitraire de F„_,. Construisons dans I une suite de 

 variétés ^„_|,^„_|, g"„^i, ..., ne se rencontrant pas et convergeant vers (^; 

 joignons chaque o-^,'^', à ^,f_Y'par un arc simple ji'^', et chaque S''"" à [3'^' 

 par un arc simple S?"'' situé dans g',f^f L'ensemble des arcs P'-^' et 2?'^' forme 

 un arc simple situé dans I et aboutissant en Q; la propriété 3° est 

 démontrée. 



