SÉANCE DU 25 SEPTEMBRE I91I. 585 



quatrième degré en p, de la forme 



^ ' ' 24 ^ b '2 ' 



où a, (3, Y, S sont des entiers déterminés, choisis arbitrairement, le premier a 

 étant assujetti à vire posilif. Ce polynôme prend des valeurs entières pour 

 toutes les valeurs positives ou négatives de l'entier p. Prenons les diffé- 

 rences successives du polynôme (p): 



MP)= 9iP + ^)- 9ip) = - '^''"l^''-'^ -^?'-^^^^7F-ro; 



9i{p) = 9i(/' +1) — ?i (/') — a. ''^'\~'' + (3/; + y; 



Considérons enfin la série ( ' ) 



/ a X y z\ ■^-< 



où a?, y, z sont des variables complexes indépendantes, a désignant une 

 constante dont la partie réelle est négatù'e. A cause de cette dernière condi- 

 tion, la série est convergente quels que soient j?,^', :; : elle définit une fonction 

 entière de a^,y, z-, dépendant des quatre entiers a, [3, y, S. On peut toujours 

 ramener l'entier p à être égal à l'un des nombres 



(2) o, I, 3, ..., a — i; 



en effet /> prenant toutes les valeurs de — xi à +00, on ne change pas la 

 somme de la série, en remplaçant, dans l'exposant, jy par /j H-^, À étant un 

 entier arbitrairement choisi ; cette substitution transforme le polynôme cp (p) 

 en un autre ç (/) 4- X) de même forme à un terme constant près, avec le 

 même coefficient a, les coefficients suivants prenant d'autres valeurs [3', 



Y, 0', où 



on peut alors choisir X de façon à rendre j3' égal au reste de la division de ^ 

 par a. 



(') La série spéciale que j'ai étudiée en iSgt {Annales de la Faculté de Marseille 

 el Bulletin de la Société mathématique) est un cas très particulier de la série (i). 

 Inversement, on pourrait ramener la série (i) à celte série spéciale. 



