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L'entier positif a peut être appelé V ordre de la fonction 0; cet entier étant 

 donné, p peut avoir Tune des valeurs (2), y et § sont arbitraires. 11 y a donc 

 une infinité de fonctions du quatrième degré, d'un ordre donné a. Toutes 

 ces fonctions 8 des trois variables .r, y, :; vérifient les quatre relations 

 suivantes : 



0(.r+ 27:/, J, -) =r «(.r, J, =), 



0(x, J + 27LJ, ;) = 0(a-, r, ;), 



0(a?, )■.:-(- 2 7:*) ^= 0(j:, _}'.:). 



0(.r •+ «. J + .!•,; + y) = e-"0(.r, r. 3 ). 



La dernière relation s'obtient immédiatement en changeant, dans la 

 série, jr> enyj + i, et remarquant que 



9 (/^ + ') = ? (/') + ?i(/^)> 



03(^ + 1) = tp3(/>) + a. 



Réciproquement, toute fonction entière àe ne, y, z- vérifiant les relations (3) 



est une fonction linéaire à coefficients constants des fonctions j ' / \\i 



du quatrième degré, d'ordre a. C'est ce qu'on montre par la méthode des 

 coefficients indéterminés. J'appellerai ces fonctions entières, vérifiant les 

 relations (3), des fonctions du quatrième degré a. 



La fonction 



/ ^ /, 



I- 1 



est une fonction du quatrième degré d'ordre /a, où ; est remplacé 

 par z — c. 

 La fonction 



ri ^ TT ®(-r, .r. z — Ci) 



où 



., ^ niiTii 



admet la période 2-/, par rapport à chacune des variables x,y, z et vérifie 



la relation 



F(x-+-a, r 4- X, 3 + v) = F(jc, j-, 3); 



